Enunciado

Encontre a coordenada x do ponto no gráfico de y = x 2 no qual a reta tangente é paralela à reta secante que corta a curva em x = - 1 e x = 2 .

Passo 1

Bom, se a reta tangente à curva y = x 2 deve ser paralela à reta que corta a mesma curva nos pontos x = - 1 e x = 2 , elas devem possuir a mesma inclinação! Vale lembrar, também, que a inclinação da reta tangente à curva em um ponto é a derivada da mesma curva naquele mesmo ponto. E queremos a coordenada x desse ponto. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar essa reta que corta y = x 2 em x = - 1 e x = 2 . Bom, se ela corta a curva nesses pontos, ela também passa por eles, certo? Substituindo x = - 1 e x = 2 no y = x 2 encontramos os pares ordenados - 1,1 e ( 2,4 ) . Nossa reta deve passar por esses pontos e podemos usar essa equação para achar ela:

y = a x + b

Essa é a equação da nossa reta. E substituindo os pontos que achamos:

1 = - a + b

4 = 2 a + b

Resolvendo o sistema, vamos multiplicar a primeira equação por - 1 e somar com a segunda:

a - b = - 1

2 a + b = 4

a = 1

E, substituindo esse valor em qualquer uma das duas equações, achamos:

b = 2

Com isso, nossa reta secante é:

y = x + 2

Passo 3

Bom, se nossa reta tangente deve a mesma inclinação que a reta secante, sua inclinação é 1 (valor de a ). E isso quer dizer que a derivada da função y = x 2 no ponto que queremos deve ser 1 também!

Calculando a derivada de y :

y = x 2

y ' = 2 x

E já que a derivada deve ser 1 :

1 = 2 x

x = 1 2

Essa é justamente a coordenada x que o problema pediu!

Resposta

x = 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Derive a função. f x = 30
Derive a função. F x = - 4 x 10
Derive a função. R x = 10 x 7
Derive a função. f t = t - 1 t
Derive a função. y = x 3