Derive.

y = (sen(3x) + cos(2x))^3

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = sen ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x

f g x = f u = u 3

Assim temos então que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x = u 3 ' ⋅ sen ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x '

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' g x :

f ' g x = u 3 ' = 3 u 3 - 1 = 3 u 2

Agora para g ' x :

g ' x = sen ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x ' = sen ⁡ 3 x ' + cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 3 x ⋅ 3 x ' + - sen ⁡ 2 x ⋅ 2 x ' = cos ⁡ 3 x ⋅ 3 x 1 - 1 + - sen ⁡ 2 x ⋅ 2 x 1 - 1 = cos ⁡ 3 x ⋅ 3 x 0 + - sen ⁡ 2 x ⋅ 2 x 0 = cos ⁡ 3 x ⋅ 3 ⋅ 1 + - sen ⁡ 2 x ⋅ 2 ⋅ 1 = 3 cos ⁡ 3 x - 2 sen ⁡ 2 x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = u 3 ' ⋅ sen ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x ' = 3 u 2 ⋅ 3 cos ⁡ 3 x - 2 sen ⁡ 2 x

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y ' = 3 u 2 ⋅ 3 cos ⁡ 3 x - 2 sen ⁡ 2 x = 3 sen ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x 2 ⋅ 3 cos ⁡ 3 x - 2 sen ⁡ 2 x

Resposta

y ' = 3 sen ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x 2 ⋅ 3 cos ⁡ 3 x - 2 sen ⁡ 2 x

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