Enunciado

Descreva o domínio das seguintes funções:

(c) z = (5 ln (x + y))/(sqrt(4 - x^2 - y^2))

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de domínio.

Basicamente, para uma função f (x , y) = z , o seu domínio é o conjunto de todos os valores de x e y , ou melhor, é o conjunto de todos os pontos (x , y) in R^2 que dão um resultado válido para a função f e nos quais ela está definida.

Portanto, a ideia que precisamos ter é a seguinte: observando a forma da função f (x , y) , vamos verificar os valores de x e y que poderiam tornar a função dada inválida, ou seja, que dariam um resultado inexistente a ela.

Passo 2

Então, para o nosso presente caso, temos uma função logarítmica natural. Uma informação a ser lembrada é o fato de que não existe um resultado real para logaritmos de um valor negativo. Isso nos diz que o logaritmando precisa ser maior que zero para ser estritamente positivo e diferente de zero.

Com isso, nosso logaritmo nos dá a seguinte inequação:

x + y > 0

Além disso, a função z tem uma raiz quadrada. Precisamos lembrar que o radicando (valor dentro da raiz) precisa ser positivo e maior ou igual a zero, pois não existe um resultado real para a raiz quadrada de um número negativo (parecido com a função logarítmica, não é?).

Escrevendo essas informações matematicamente:

4 - x^2 - y^2 >= 0

Mas não podemos esquecer do fato de que a raiz está no denominador e, por isso, não pode ser nula!! Isso restringe ainda mais os valores permitidos das variáveis fazendo com que o resultado do radicando não possa ser zero.

Dessa forma, acrescentando essa última informação para a inequação, obtemos:

4 - x^2 - y^2 > 0

Passo 3

Como a primeira inequação possui apenas duas variáveis, vamos deixá-la com uma variável dependendo da outra. Logo, isolando y :

y > - x

Já na segunda diferença, podemos perceber que ela é bem parecida com a equação de uma superfície conhecida. Então, se deixarmos a constante isolada:

x^2 + y^2 < 4

E lembrando que a equação de um círculo de raio a é dada por:

x^2 + y^2 = a^2

Temos que os valores dos pontos (x , y) precisam ser tais que estejam contidos dentro da esfera de raio 2 .

Portanto, podemos dizer que o domínio da função, ou seja, todos os valores de x e y que dão um resultado real a ela precisam atender a essas duas inequações.

Em termos matemáticos, o domínio é dado por:

D = {(x , y) in R^2 | y > - x e x^2 + y^2 < 4}

Resposta

D = {(x , y) in R^2 | y > - x e x^2 + y^2 < 4}

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