Enunciado

Descreva o domínio das seguintes funções:

(c) z = sqrt(2 y - x^2 - y^2) .

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de domínio.

Basicamente, para uma função f (x , y) = z , o seu domínio é o conjunto de todos os valores de x e y , ou melhor, é o conjunto de todos os pontos (x , y) in R^2 que dão um resultado válido para a função f e nos quais ela está definida.

Portanto, a ideia que precisamos ter é a seguinte: observando a forma da função f (x , y) , vamos verificar os valores de x e y que poderiam tornar a função dada inválida, ou seja, que dariam um resultado inexistente a ela.

Passo 2

Então, para o nosso presente caso, a função z tem uma raiz quadrada. Precisamos lembrar que o radicando (valor dentro da raiz) precisa ser positivo e maior ou igual a zero, pois não existe um resultado real para a raiz quadrada de um número negativo.

Escrevendo essa informação matematicamente:

2 y - x^2 - y^2 >= 0

Vamos tentar transformar essa inequação de forma que ela represente uma superfície conhecida.

Passo 3

Se multiplicarmos toda a inequação por - 1 , teremos:

x^2 + y^2 - 2 y <= 0

Não se esqueça que ao multiplicar uma inequação por um valor negativo, o sinal da diferença se torna o contrário, beleza?

E lembrando que a equação de um círculo de raio a é dada por:

x^2 + y^2 = a^2

Podemos rearranjar a diferença para que tenha uma forma parecida com a do círculo. Para tanto, vamos completar quadrados a fim de transformar os termos com y em um produto notável. Logo, somando 1 em ambos os lados da inequação:

x^2 + y^2 - 2 y + 1 <= 1

Isso pode ser dado por:

x^2 + (y - 1)^2 <= 1

Temos, então, que os valores dos pontos (x , y) precisam ser tais que estejam contidos dentro da esfera de raio 1 deslocada em uma unidade no eixo positivo de y .

Portanto, podemos dizer que o domínio da função, ou seja, todos os valores de x e y que dão um resultado real a ela precisam atender a essa inequação.

Em termos matemáticos, o domínio é dado por:

D = {(x , y) in R^2 | x^2 + (y - 1)^2 <= 1}

Resposta

D = {(x , y) in R^2 | x^2 + (y - 1)^2 <= 1}

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