Enunciado

Sabendo que a função

T x , y , z = 30 - x 2 + 1 4 y 2 + 1 9 z 2

representa a temperatura nos pontos da região do espaço delimitada pelo elipsoide

x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1

pergunta-se:

  1. Em que ponto a temperatura é a mais alta possível?
  2. Se uma partícula se afasta da origem, deslocando-se sobre o eixo positivo x , sofrerá aumento ou diminuição de temperatura?
  3. Em que ponto a temperatura é a mais baixa possível?

Passo 1

Galerinha, na letra (a) queremos saber o ponto em que a temperatura é a mais alta possível. Vamos olhar para a equação da temperatura na região em questão:

T x , y , z = 30 - x 2 + 1 4 y 2 + 1 9 z 2

Você concorda que o ponto ( 0,0 , 0 ) vai ser o de maior temperatura? A gente consegue observar isso pois é o único ponto em que não será subtraído valor algum do 30 ali da equação! Logo, a resposta é ( 0,0 , 0 ) .

Passo 2

Na letra (b) temos a situação de uma partícula se afastando da origem, deslocando sobre o eixo positivo x . Se a partícula se desloca somente no eixo x, não temos valores para y e z , ou seja, ambas iguais a zero. Assim, a equação da temperatura fica:

T x , y , z = 30 - x 2

Conforme o valor de x aumenta, o que acontece com T ?

T = lim x → ∞ ⁡ 30 - x 2 = - ∞

A temperatura irá diminuir!

Passo 3

Por fim, na letra (c) precisamos descobrir em quais pontos a temperatura é a mais baixa possível. Na equação da temperatura, o menor valor que ela vai poder assumir é T = 29 , que é a casca do elipsoide!

Resposta

  1. O ponto é ( 0,0 , 0 ) ;
  2. A temperatura irá diminuir;
  3. Os pontos são os da casca do elipsoide x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 .
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