Enunciado

Descreva as várias abordagens para calcular integrais da forma

∫ tan m ⁡ x ⋅ sec n ⁡ x d x

Quais são os casos em que esses tipos de integrais se dividem? Quais são os procedimentos e as identidades usadas em cada caso?

Passo 1

Bom galera, a gente tem alguns casos resolvermos nossa integral:

∫ tan m ⁡ x ⋅ sec n ⁡ x d x

Que são:

+ n   é   p a r

+ m   é   i m p a r

+ m   é   p a r   e   n   é   i m p a r

Passo 2

Belezinha, primeiro quando n é par, a gente separa um fator de cos ⁡ x usando a identidade:

sec 2 ⁡ x = 1 + ta n 2 ⁡ x

E escrevemos a integral em termos de ta n ⁡ x e então d u = sec 2 ⁡ x d x , vou mostrar um exemplo:

∫ tan 2 ⁡ x ⋅ sec 4 ⁡ x d x = ∫ tan 2 ⁡ x ⋅ 1 + tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

= ∫ tan 2 ⁡ x + tan 4 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

= ∫ u 2 + u 4   d u

Onde: u = tan ⁡ x .

Passo 3

Agora para o caso de m ser impar, então nós separamos um fator de sin ⁡ x usando a identidade:

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

E escrevemos a integral em termos de cos ⁡ x , aí então substituimos u = sec ⁡ x e também d u = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x   d x , formando uma integral polinomia, igual no exemplo do passo anterior.

Passo 4

Por fim, o último caso é quando m e n são pares, nesse caso a gente reduz a potência de s ec ⁡ x , usando a identidade:

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

E usamos normalmente tecnicas de integração para resolvermos.

Resposta

3   c a s o s   e   f o r m a s   d e   r e s o l v e r

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Determine o volume gerado pela rotação de um arco da curva y = s e n x em torno do eixo das abscissas.
Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
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