Calcule a integral.

∫ 3 x 3 1 - x 2 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ 3 x 3 1 - x 2 d x

Vamos chamar:

x = sin ⁡ θ

d x = cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ 3 sin 3 ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 3 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= 3 ∫ sin 3 ⁡ θ d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

3 ∫ sin 3 ⁡ θ d θ

= 3 - 1 3 sin 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ - 2 3 cos ⁡ θ + C

= - sin 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ + C

Voltando para x :

- x 2 1 - x 2 - 2 1 - x 2 + C

= x 2 + 2 1 - x 2 + C

Resposta

x 2 + 2 1 - x 2 + C

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