Calcule a integral.

∫ x 3 5 - x 2 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ x 3 5 - x 2 d x

= ∫ x 3 5 2 - x 2 d x

Vamos chamar:

x = 5 sin ⁡ θ

d x = 5 cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ 5 sin ⁡ θ 3 5 - 5 sin 2 ⁡ θ 5 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 5 5 sin 3 ⁡ θ 5 ( 1 - sin 2 ⁡ θ ) 5 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 25 5 sin 3 ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

25 5 ∫ sin 3 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= 25 5 ∫ sin 3 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

= 25 5 ∫ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

= 25 5 ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ θ ) cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

= 25 5 ∫ cos 2 ⁡ θ - cos 4 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Passo 3

Então agora, pra facilitar a gente faz outra substituição:

25 5 ∫ cos 2 ⁡ θ - cos 4 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Onde chamamos, as variáveis:

t = cos ⁡ θ

- d t = sin ⁡ θ d θ

Logo, ficamos com:

- 25 5 ∫ t 2 - t 4 d t

= - 25 5 ∫ t 2 - t 4 d t

Passo 4

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

- 25 5 ∫ t 2 - t 4 d t

= - 25 5 t 3 3 - t 5 5 + C

Voltamos primeiro para θ :

= - 25 5 cos 3 ⁡ θ 3 - cos 5 ⁡ θ 5 + C

= - 5 5 cos 5 ⁡ θ - 25 5 3 cos 3 ⁡ θ + C

Aí então, voltamos para x :

- 5 5 5 - x 2 5 5 - 25 5 3 5 - x 2 5 3 + C

= - 5 5 5 - x 2 5 2 25 5   - 25 5 3 5 - x 2 3 2 5 5 + C

= 1 5 5 - x 2 5 / 2 - 5 3 5 - x 2 3 2 + C

Resposta

1 5 5 - x 2 5 / 2 - 5 3 5 - x 2 3 2 + C

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