Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 28
Demonstre que a série obtida no Exercício 11 representa para todo .
Passo 1
No exercício 11 encontramos a série
Para que essa série represente a função, precisamos provar que seu erro para todo , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se , então
Como o centro é
Passo 2
Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de , se derivarmos varias vezes, chegaremos sempre em ou então de forma geral
ou
Pelas definições das funções hiperbólicas, tiramos que
Mas temos que para todo
Logo
Como precisa ser um valor constante, vamos pegar um valor que obedeça , então podemos dizer que
E podemos usar
Então na desigualdade temos
Passo 3
Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo
Quando temos que , como o lado direito da desigualdade segue esse padrão só muda que temos , que é constante então pode sair do limite, e se o limite é temos que , então por comparação
Logo, a série
representa a função para todo .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)