Enunciado

O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação

s = t 2 - 8 t + 18

Onde t é medido em segundos.

(a) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo

  1. [ 3 ; 4 ]
  2. [ 3,5 ; 4 ]
  3. [ 4 ; 5 ]
  4. [ 4 ; 4,5 ]

(b) Encontre a velocidade instantânea quando t = 4 .

(c) Faça o gráfico de s em função de t e desenha as retas secantes cujas inclinações são as velocidades médias da parte (a), e a reta tangente, cuja inclinação é a velocidade instantânea da parte (b)

Passo 1

Oiee, temos que fazer várias coisinhas nesse problema!

O enunciado nos dá a fórmula do deslocamento de uma partícula ao longo de uma linha reta:

s = t 2 - 8 t + 18

A gente quer (a) velocidade média em diferentes intervalos de tempo:

[ 3 ; 4 ]

[ 3,5 ; 4 ]

[ 4 ; 5 ]

[ 4 ; 4,5 ]

Vamos calcular os pontos:

  1. t = 3
  2. s 3 = 3 2 - 8 ⋅ 3 + 18 = 3 m

  3. t = 3,5
  4. s 3,5 = 3,5 2 - 8 ⋅ 3,5 + 18 = 2,25 m

  5. t = 4
  6. s 4 = 4 2 - 8 ⋅ 4 + 18 = 2 m

  7. t = 4,5
  8. s 4,5 = 4,5 2 - 8 ⋅ 4,5 + 18 = 2,25 m

  9. t = 5

s 5 = 5 2 - 8 ⋅ 5 + 18 = 3 m

Passo 2

Agora, calcularemos as velocidades médias, sabendo que :

v m = ∆ s ∆ t

  1. 3   ,   4
  2. v m 1 = 2 - 3 4 - 3 = - 1 m / s

  3. 3,5   ,   4
  4. v m 2 = 2 - 2,25 4 - 3,5 = - 0,5 m / s

  5. 4   ,   5
  6. v m 3 = 3 - 2 5 - 4 = 1 m / s

  7. 4   ,   4,5

v m 4 = 2,25 - 2 4,5 - 4 = 0,5 m / s

Passo 3

Na letra b a gente tem que encontrar a velocidade instantânea da partícula em t = 4 , lembrando que a velocidade é dada pela inclinação reta tangente da posição s ( t ) em um ponto definido que aqui é igual a t = 4   s .

Vamos usar então a seguinte fórmula:

v = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Na letra (a) calculamos:

f 4 = 2

f 4 + h = 4 + h 2 - 4 + h t + 18

Substituindo:

lim h → 0 ⁡ 4 + h 2 - 8 4 + h + 18 - 4 2 + 8 4 - 18 h

Precisamos manipular a equação até a gente poder substituir h = 0 sem cair em uma indeterminação:

lim h → 0 ⁡ 8 h + h 2 - 8 h h

lim h → 0 ⁡ h 2 h

lim h → 0 ⁡ h = 0

v 4 = 0 m / s

Passo 4

Na letra c a gente precisa fazer o gráfico de s em função de t com várias outras retas!

Lá na letra (a) calculamos várias velocidades médias, essas velocidades são as inclinações das retas secantes que precisamos desenhar aqui! Além disso temos que desenhar a reta tangente com a inclinação que é a velocidade instantânea da letra (b)..

Antes de você sair calculando todas as equações de reta, calma!

Na letra (a) temos dois pontos conhecidos pra cada velocidade, então a gente só precisa identificar esses pontos e traçar uma reta!

Para a reta tangente conhecemos o ponto ( 4,0 ) e sabemos que ela é horizontal, pois sua inclinação é igual a zero, então é só desenhar!

Fazendo os gráficos

Prontinho!

Resposta

  1. v m 1 = - 1 m / s

    v m 2 = - 0,5 m / s

    v m 3 = 1 m / s

    v m 4 = 0,5 m / s

  2. v 4 = 0 m / s

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Seja f x = 3 x + 2 . Calcule a )f ' 2 b )f ' 0 c )f ' x
Determine a equação da reta tangente em ( p ,f ( p ) ) sendo dados a )f x = x 2 ; p = 2
Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dados e )f x = x ; p = 3
Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dados d )f x = 1 x ; p = 1
Determine a equação da reta tangente em ( p ,f ( p ) ) sendo dados c )f x = x ; p = 9