Enunciado

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo numero a .Diga o que são f e a em cada caso.

lim ⁡ θ → π / 6   ⁡ sen ⁡ ( θ ) - 1 2 θ - π / 6

Passo 1

Fala aí, meus amores! Como anda a vida?

Essa questãozinha pede pra darmos uma olhada nesse limite aqui:

lim ⁡ θ → π / 6   ⁡ sen ⁡ ( θ ) - 1 2 θ - π / 6

Cuidado pra não sair resolvendo o limite direto. Não é isso que a questão pede!

O enunciado fala que esse limite representa a derivada de uma certa função f em um certo ponto a . O que precisamos fazer é descobrir que função f e qual ponto a é esse.

Agora foca nesse bizu aqui! Vamos lembrar dessa definição da derivada:

f ' a = l i m x → 0 f x - f a x - a

Os dois limites tem uma carinha parecida, né? Então vamos tentar comparar os dois pra encontrar o que precisamos!

Vamos lá!

Passo 2

Pra facilitar as coisas, vamos colocar os dois limites juntinhos:

lim ⁡ θ → π / 6   ⁡ sen ⁡ ( θ ) - 1 2 θ - π / 6                     ,                     f ' a = l i m x → 0 f x - f a x - a

A primeira coisa que observamos é que o limite dado está em termos da variável x , enquanto que a definição da derivada está em função de θ .

Isso não faz diferença, mas pra não confundirmos, vamos deixar todo mundo em função da mesma variável θ . Reescrevendo, temos:

lim ⁡ θ → π / 6   ⁡ sen ⁡ ( θ ) - 1 2 θ - π / 6                     ,                     f ' a = l i m x → 0 f θ - f a θ - a

Vamos começar olhando pro denominador. Comparando visualmente, podemos dizer que:

a = π / 6

Legal! Agora vamos dar uma olhada no numerador. Novamente, comparando visualmente conseguimos perceber que:

f θ = sen ⁡ θ

f a = 1 2

Como já sabemos que a = π / 6 , podemos checar se essas afirmações estão coerentes. Olha só:

f a = sen ⁡ π / 6 = 1 2

Boa! As afirmações estão compatíveis e conseguimos descobrir o que queríamos:

f θ = sen ⁡ θ

a = π / 6

Partiu próximo exercício!

Resposta

f θ = s e n ⁡ ( θ )

a = π 6

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