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Para um determina aparelho, a função densidade de probabilidade de que ele irá precisar de manutenção x meses após sua compra é dada por

f x = 0,02 e - 0,02 x s e x ≥ 0 0 s e x < 0

Se o aparelho tiver um ao de garantia, qual será a probabilidade de que um comprador escolhido ao acaso não precise consertar seu aparelho durante o prazo de garantia?

Passo 1

A probabilidade que ele não precise consertar o aparelho durante o prazo é aquele onde a manutenção acontece para x > 12 , já que x está em meses e a garantia é de 1 ano. Que é

P x > 12

Para isso, a nossa integral vai de 12 até + ∞ que é o tempo infinito mesmo. Quando ele pedir pelo menos alguma coisa, sempre vai desse valro até + ∞

P x > 12 = ∫ 12 + ∞ 0,02 e - 0,02 x d x

Para resolvermos essa integral imprópria, vamos fazer o seu limite

∫ 12 + ∞ 0,02 e - 0,02 x d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 12 b 0,02 e - 0,02 x d x

Vamos comerçar resolvendo a integral:

∫ 0,02 e - 0,02 x d x

Fazendo:

a = - 0,02 x → d a = - 0,02 d x → 0,02 d x = - d a

∫ 0,02 e - 0,02 x d x = ∫ - e a d a = - e a + C

Voltando para   x

- e a + C = - e - 0,02 x + C

∫ 0,02 e - 0,02 x d x = - e - 0,02 x + C

Passo 2

O nosso limite vai fiacr:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 12 b 0,02 e - 0,02 x d x = lim b → + ∞ ⁡ - e - 0,02 x 12 b = lim b → + ∞ ⁡ - e - 0,02 b - - e - 0,02 . 12 =

lim b → + ∞ ⁡ - e - 0,02 b + e - 0,24 = - e - ∞ + e - 0,24 = 0 + e - 0,24 = e - 0,24

Resposta

e - 0,24

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