Enunciado

Numa determinada vila, a taxa segundo a qual um boato se espalha é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que ouviram o boato e ao número de pessoas que não ouviram. Mostre que o boato está sendo espalhado com velocidade máxima quando a metade da população da cidade já escutou.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Vamos devagarinho, começar definindo o que queremos achar e os parâmetros que precisamos definir. Seja n o total de pessoas na cidade e x a quantidade de pessoas que já ouviram a boato, vamos chamar a taxa a qual o boato se espalha f = f x . Se o total de pessoas que ouviu o boato é x , a quantidade de pessoas que não ouviu é n - x . A questão também disse que f é conjuntamente proporcional a x e n - x , ou seja:

f x = x n - x

Essa é a nossa função! E como a quantidade de pessoas que sabe o boato pode ser de 0 a n pessoas: x ∈ 0 ,   n . E pelo teorema do valor extremo já conseguimos ver que o máximo de f estará no interior do intervalo de x , já que f 0 = 0 e f n = 0 .

Passo 3

Agora vamos escrever f de um jeito mais legal pra derivar:

f x = - x 2 + n x

Derivando:

d f d x = - 2 x + n

Agora igualando a 0 encontraremos o valor de x que representa a taxa máxima de fofoca da cidade:

- 2 x + n = 0

2 x = n

x = 1 2 n

Que é exatamente o que queríamos mostrar! A taxa máxima de “espalhamento” do boato acontece quando metade da população 1 2 n sabe do boato.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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