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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 10.9 - Ex. 18

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Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes

18. r = 2 s e n 3 θ

Passo 1

Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Primeiro vamos encontrar   d r d θ :

d r d θ = 6 c o s 3 θ

Substituindo o resultado e a equação de r na equação da inclinação:

t g α = 6 t g θ c o s 3 θ + 2 s e n 3 θ 6 c o s 3 θ - 2 s e n 3 θ t g θ

Reescrevendo:

t g α = 6 s e n θ c o s θ c o s 3 θ + 2 s e n 3 θ 6 c o s 3 θ - 2 s e n 3 θ s e n θ c o s θ

t g α = 6 s e n θ c o s 3 θ + 2 s e n 3 θ c o s θ 6 c o s 3 θ - 2 s e n 3 θ s e n θ c o s θ

t g α = 6 s e n θ c o s 3 θ + 2 s e n 3 θ c o s θ 6 c o s 3 θ - 2 s e n 3 θ s e n θ c o s θ

t g α = 6 s e n θ c o s 3 θ + 2 s e n 3 θ 6 c o s 3 θ c o s θ - 2 s e n 3 θ s e n θ

Utilizando as seguintes relações trigonométricas:

s e n 2 θ = 2 s e n θ c o s θ

c o s 2 θ = 2 c o s 2 θ - 1

s e n 3 θ = s e n 2 θ + θ = s e n 2 θ c o s θ + s e n θ c o s 2 θ

c o s 3 θ = c o s 2 θ + θ = c o s 2 θ c o s θ - s e n 2 θ s e n θ

Substituindo as duas primeiras nas duas últimas:

s e n 3 θ = 2 s e n θ c o s 2 θ + s e n θ 2 c o s 2 θ - 1

c o s 3 θ = c o s θ 2 c o s 2 θ - 2 s e n 2 θ - 1

A equação da t g α ficará:

t g α = 6 s e n θ 4 c o s 3 θ - 3 c o s θ + 2 3 s e n θ - 4 s e n 3 θ c o s θ 6 c o s θ 4 c o s 3 θ - 3 c o s θ - 2 3 s e n θ - 4 s e n 3 θ s e n θ

Passo 2

As retas horizontais podem ser obtidas igualando-se o numerador da equação acima a zero, pois assim a inclinação será zero e a reta será horizontal:

6 s e n θ 4 c o s 3 θ - 3 c o s θ + 2 3 s e n θ - 4 s e n 3 θ c o s θ = 0

Reescrevendo:

2 s e n θ c o s θ 12 c o s 2 θ - 9 + 3 - 4 s e n 2 θ = 0

2 s e n θ c o s θ 6 - 16 s e n 2 θ = 0

2 s e n θ 6 - 16 s e n 2 θ = 0

Então:

s e n θ = 0 → θ = 0

E:

6 - 16 s e n 2 θ = 0

O valor negativo será descartado pois não corresponde a uma reta horizontal, então ficamos com:

s e n θ = 6 4 → θ ≅ 0,66   e   θ ≅ 2,48

Para θ = π 2 :

r = 2 s e n 3 θ = 0

As coordenadas cartesianas serão:

x = r c o s θ = 0

y = r s e n θ = 0

Para θ ≅ 0,66 :

r = 2 s e n 3 0,66 = 1,83

As coordenadas cartesianas serão:

x = 1,83 c o s ( 0,66 ) = 1,44

y = 1,83 s e n ( 0,66 ) = 1,12

E para θ ≅ 2,48 :

r = 1,83

E as coordenadas cartesianas:

x = 1,83 c o s 2,48 = - 1,44

y = 1,83 s e n ( 2,48 ) = 1,12

Os pontos (-1,44, 1,12) e (1,44, 1,12) correspondem a dois pontos que estão na mesma reta que passa duas vezes na curva. E o ponto (0, 0) corresponde a uma outra reta.

Passo 3

Para as retas verticais, precisamos igualar o denominador a zero, para que a inclinação tenda para infinito:

6 c o s θ 4 c o s 3 θ - 3 c o s θ - 2 3 s e n θ - 4 s e n 3 θ s e n θ = 0

Reescrevendo:

2 3 c o s 2 θ 4 c o s 2 θ - 3 - ( 3 s e n 2 θ - 4 s e n 4 θ ) = 0

2 3 - 3 s e n 2 θ 1 - 4 s e n 2 θ - 3 s e n 2 θ - 4 s e n 4 θ = 0

2 16 s e n 4 θ - 18 s e n 2 θ + 3 = 0

s e n 2 θ = 1 16 9 ± 33

E o s e n θ poderá assumir dois valores:

s e n θ ≅ 0,96 → θ ≅ 1,29   e   θ ≅ 1,86

E

s e n θ ≅ 0,45 → θ ≅ 0,47   e   θ ≅ 2,67

Para s e n θ ≅ 0,96 teremos:

Para θ ≅ 1,29 :

r = 2 s e n 3   .   1,29   ≅ - 1,33  

As coordenadas cartesianas serão:

x = r c o s θ = - 1,33 c o s 1,29 ≅ - 0,37

y = r s e n θ = - 1,33 s e n 1,29 ≅ - 1,27

E para   θ ≅ 1,86 :

As coordenadas cartesianas ficarão:

x = r c o s θ = - 1,33 c o s 1,86 ≅ 0,37

y = r s e n θ = - 1,33 s e n 1,86 ≅ - 1,27

E com s e n θ ≅ 0,45 :

r = 2 s e n 3   .   0,45 ≅ 1,95

Para θ ≅ 0,47  

x = r c o s θ = 1,95 c o s 0,47 ≅ 1,74

y = r s e n θ = 1,95 s e n 0,47 ≅ 0,88

E para θ ≅ 2,67

x = r c o s θ = 1,95 c o s 2,67 ≅ - 1,74

y = r s e n θ = 1,95 s e n 2,67 ≅ 0,88

Passo 4

O esboço do gráfico então será:

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