Enunciado

Um pequeno lago contendo 1.000.000 de galões (cerca de 4.550.000 litros) de água não contém, inicialmente, produto químico indesejável (veja o Problema 21 da Seção 1.1). O lago recebe água contendo 0,01   g / g a l de um produto químico a uma taxa de 300   g a l / h e a água sai do lago à mesma taxa. Suponha que o produto químico esteja distribuído uniformemente no lago.

  1. Seja Q t a quantidade de produto químico no lago no instante t . Escreva um problema de valor inicial para Q t .
  2. Resolva o problema no item (a) para Q t . Quanto produto químico o lago terá ao final de 1 ano.
  3. Ao final de 1 ano, a fonte do produto químico despejado no lago é retirada; a partir daí, o lago recebe pura, e a mistura sai à mesma taxa de antes. Escreva o problema de valor inicial que descreve essa nova situação.
  4. Resolva o problema de valor inicial no item (c). Qual a quantidade de produto químico que ainda permanece no lago após mais 1 ano (2 anos após o inicio do problema)?
  5. Quanto tempo vai levar para que Q t seja igual a 10   g ?
  6. Faça o gráfico de Q t em função de t para até 3 anos.

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Depois vamos aplicar as condições de contorno de cada item para encontrar as informações pedidas. Vamos juntos para resolver!!

Passo 2

a)

Bom, vamos lá. O enunciado nos pede para montar a equação diferencial para o problema. Se olharmos no problema sugerido pelo enunciado, vamos ver algo semelhante ao nosso problema. Como inicialmente não há produto químico no lado, vamos dizer que nosso Q ( t ) para t = 0 é Q 0 = 0 . Temos também que a taxa de água que entra no lago é dado por 300 g a l h ⋅ 0,01 g g a l = 3   g / h . Assim, nossa equação ficará mais ou menos da seguinte forma:

d Q d t = 3 - k ⋅ Q t ,     Q 0 = 0

Onde nosso k será a constante que irá corrigir a quantidade de produto que sai. Como dito no enunciado, a taxa que sai do lago é a mesma que entra, porém da quantidade total de água do lago. Assim, a quantidade de produto que sai é dado por 300 10 6 g a l h ⋅ 1 g a l = 3 × 10 - 4   1 / h . Então, nossa equação fica:

d Q d t = 3 - 0,0003 ⋅ Q t ,     Q 0 = 0

Passo 3

b)

Para resolvermos, vamos reescrever a equação da forma separável. Temos então que:

d Q d t = 3 - 3 × 10 - 4 ⋅ Q t

d Q d t = 3 × 10 - 4 ⋅ 10 4 - Q t

1 10 4 - Q t ⋅ d Q = 3 × 10 - 4 ⋅ d t

Integrando de ambos os lados, temos que:

ln ⁡ 10 4 - Q t = - 3 × 10 - 4 ⋅ t + ln ⁡ | C |

Aplicando exponencial de ambos os lados, chegamos em:

10 4 - Q t = C ⋅ e - 3 × 10 - 4 t

Q t = - C ⋅ e - 3 × 10 - 4 t + 10 4

Com a condição de contorno de Q 0 = 0 , obtemos:

C = 10 4

Então, nossa equação fica:

Q t = - 10 4 ⋅ e - 3 × 10 - 4 t + 10 4

Passo 4

Para descobrirmos a quantidade de produto químico após um ano, primeiramente temos que transformar 1 ano em horas. Assim:

1   a n o = 24   h o r a s * 365   d i a s = 8760   h o r a s

Substituindo em t na equação do passo anterior, chegamos que:

Q 8760 = - 10 4 ⋅ e - 3 × 10 - 4 ⋅ 8760 + 10 4 = 9.277,77   g = 9,277   k g .

Passo 5

c)

Como agora não entra mais nenhum produto químico no lago, assim o primeiro termo da nossa equação diferencial desaparece. Sendo assim, nossa equação agora se torna:

d Q d t = - 3 × 10 - 4 ⋅ Q

E nosso Q ( 0 ) agora vai ser o valor que se encontra no final de um ano, como o achado no passo anterior. Assim, Q 0 = 9.277,77 g .

Passo 6

d)

Como no item (c), vamos tornar separável nossa equação.

d Q Q = - 3 × 10 - 4 d t

Integrando de ambos os lados, temos:

ln ⁡ Q = - 3 × 10 - 4 t + C

Aplicando exponencial, temos:

Q = C ⋅ e - 3 × 10 - 4 t

Com a condição de contorno, chegamos em:

9.277,77 = C

Assim:

Q t = 9.277,77 ⋅ e - 3 × 10 - 4 t

Após mais um ano, temos que nosso t será t = 8760   h o r a s . Substituindo na equação, vamos ter que:

Q 8760 = 9.277,77 ⋅ e - 3 × 10 - 4 ⋅ 8760 = 670,1   g

Passo 7

e)

Agora queremos o tempo para chegar em 10   g . Assim, temos que, aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, ficamos com:

ln ⁡ Q t 9.277,77 = - 3 × 10 - 4 t

Para Q t = 10 g , temos:

ln ⁡ 10 9.277,77 ⋅ - 1 3 × 10 4 = t

t = 22.776   h o r a s = 2,6   a n o s

Passo 8

f)

Resposta

  1. d Q d t = 3 - 0,0003 ⋅ Q t ,     Q 0 = 0
  2. Q t = - 10 4 ⋅ e - 3 × 10 - 4 t + 10 4
  3. d Q d t = - 3 × 10 - 4 ⋅ Q ,     Q 0 = 9.277,77
  4. Q 8760 = 670,1   g
  5. t = 2,6   a n o s

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