Enunciado

31. Determinar algebricamente os valores de x , tais que o gráfico de f ( x ) esteja abaixo do gráfico de g ( x ) , sendo f ( x ) = x 2 - 1 e g ( x ) = 1 - x 2 . Usando a ferramenta gráfica, traçar o gráfico das funções dadas e comparar os resultados.

Passo 1

Vamos aplicar os nossos conhecimentos de inequação e desenhar os gráficos de f ( x ) !

Só que antes vamos entender o que é o gráfico de f ( x ) estar abaixo de g ( x ) .

Ora, isso nos quer dizer que f ( x ) < g ( x ) .

Passo 2

Na inequação, teremos que resolver isso:

f ( x ) < g ( x )

x 2 - 1 < 1 - x 2

2 x 2 < 2

x 2 < 1

- 1 < x < 1

Agora desenharemos o gráfico das funções do segundo grau! Para isso, precisaremos antes lembrar que uma função do 2 grau tem como gráfico, uma parábola!

Para f ( x ) :

f ( x ) = x 2 - 1

Faremos o primeiro ponto, em que substituiremos por x = 0 .

f ( 0 ) = ( 0 ) 2 - 1 = - 1

O segundo ponto, substituiremos f ( x ) = 0 :

0 = x 2 - 1

1 = x 2

x = 1 ou x = - 1

E com concavidade para cima, pois a > 0 !

Passo 3

Agora faremos o gráfico de g ( x ) :

g ( x ) = 1 - x 2

Faremos o primeiro ponto, em que substituiremos por x = 0 .

g ( 0 ) = 1 - ( 0 ) 2 = 1

O segundo ponto, substituiremos g ( x ) = 0 :

0 = 1 - x 2

x 2 = 1

x = 1 ou x = - 1

E com concavidade para baixo, já que a < 0 :

Desenhando os dois gráficos num mesmo sistema de coordenadas, temos:

Em roxo, temos o gráfico de f ( x ) e em dourado temos o gráfico de g ( x ) .

g ( x ) é maior que f ( x ) para pontos entre - 1 e 1 , conforme achamos na equação!!!

O dourado fica acima do roxo, melhor dizendo!

Resposta

- 1 < x < 1

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