Enunciado

Determinar um campo normal unitário do plano que passa nos pontos 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) e 0,0 , 1 , usando as seguintes parametrizações

r → u , v = u + v i ^ + u - v j ^ + 1 - 2 u k ^

Passo 1

Pois bem pessoal, para determinarmos o campo normal unitário, devemos calcular o vetor normal a superfície e normaliza-lo. Pata isso vamos calcular os vetores tangentes e tirar o produto vetorial entre eles, assim tendo o vetor normal a superfície.

Passo 2

Vamos achar os vetores tangentes fazendo

∂ r ∂ u = ( 1,1 , - 2 )

e

∂ r ∂ v = ( 1 , - 1,0 )

E agora para achar o vetor diretor, vamos tirar o produto vetorial entre os dois vetores

∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v = d e t   i ^ j ^ k ^ 1 1 - 2 1 - 1 0 = - 2 i ^ - 2 j ^ - 2 k ^

Isso nos dá que nosso vetor normal é

n → = ( - 2 , - 2 , - 2 )

E para normaliza-lo fazemos

n → = - 2 2 + - 2 2 + - 2 2 = 12 = 2 3  

Assim nosso vetor normalizado será

n → n → = n ^ = ( - 1 , - 1 , - 1 ) 3 = - ( 3 , 3 , 3 ) 3

Como se trata de um vetor constante, ele é valido para todo o espaço ( u , v )

Resposta

n ^ = - ( 3 , 3 , 3 ) 3

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