Enunciado

Determinar a área da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 9 que está no interior do cilindro x 2 + y 2   = 3 x

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Não estamos construindo o Frankenstein, mas vamos por partes. Primeiro tome nossa função f x , y

f x , y = z = 9 - x 2 - y 2

Tendo assim como derivadas direcionais

∂ z ∂ x = - x 9 - x 2 - y 2

e

∂ z ∂ y = - y 9 - x 2 - y 2

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + - x 9 - x 2 - y 2 2 + - y 9 - x 2 - y 2 2 = 3 9 - x 2 - y 2

Vamos usar coordenadas cilindras para nos ajudar a entender melhor nossas limitações, assim temos.

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

Assim nossa integral se transforma

A S = ∬ R 3 9 - x 2 - y 2 d x   d y = ∬ R 3 9 - r 2   r   d r   d θ

Entretanto ainda precisamos entender como nosso cilindro este disposto.

x 2 + y 2 = 3 x → x - 3 2 2 + y 2 = 9 4

Um cilindro de dentro 3 2 , 0 e raio 3 / 2 .

Onde temos

θ ∈ - π 2 , π 2

r ∈ 0 , R cos ⁡ θ

Onde R é o raio da esfera.

Passo 3

Vamos integrar?

A S = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 3 cos ⁡ θ 3 r 9 - r 2 d r   d θ

Para a primeira parte, vamos fazer 9 - r 2 = u → r   d r = - d u / 2

Assim temos

A S = - 3 ∫ - π 2 π 2 9 - r 2 0 3 cos ⁡ θ d θ

Lembrando que cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

A S =   - 3 ∫ - π 2 π 2 9 - 9 cos 2 ⁡ θ - 3   d θ = 2 ⋅ 3 2 ∫ 0 π 2 ( 1 - 1   s e n   θ )   d θ  

A S = 18 θ + cos ⁡ θ 0 π 2

= 9 π - 18

Que é o valor a parte interna que está acima do plano x y Então temos que a área total é o dobro do valor que obtivemos, ou seja

A S = 18 π - 36

Resposta

18 π - 36   u . a

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Uma lamina esférica é representada pela equação vetorial r →u , v = a cos ⁡ u c o s v, as e nu cos ⁡ v , as e nv 0 ≤ u ≤ 2 π - π 2 ≤ v ≤ π 2 Supondo a = 4 , representar sobre a esfera as curvas coorde
Calcular ∫ ∫ S yd S Onde S é a superfície plana x = 2 recortada pelo cone z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 4
Calcular ∫ ∫ S xd S Onde S é a superfície plana z - x = 2 recortada pela esfera x 2 +y 2 + z 2 = 2 z
1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤
1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤