Enunciado

(Teorema de Darboux.) Suponha g derivável em [ a , b ] . Com g ' a < 0 e g ' b > 0 . Prove que existe c em ] a , b [ tal que g ’ ( c ) = 0

Passo 1

Oi, galerinha! Pra essa questão, temos que usar o Teorema de Darboux. Mas peraí, o que ele diz mesmo?

O Teorema de Darvoux fala que se temos uma função g ( x ) que seja diferenciável dentro de um intervalo fechado [ a , b ] , ou seja, a função vai possuir derivada em tooodos os valores dentro desse intervalo, podemos concluir que existe algum c dentro desse intervalo (sem contar a e b ) tal que o valor da derivada em c está entre o valor da derivada de a e b .

No caso do nosso problema, g ' c = 0 , beleza? Vamos lá!

Passo 2

Sabemos, do enunciado, que g ' ( a ) vai ser menor que 0 :

g ' a < 0

E, analogamente, g ' ( b ) vai ser maior que 0 :

g ' b > 0

Agora pensa comigo: se uma derivada é negativa, sua reta tangente é decrescente, e se a derivada é positiva, sua reta tangente é crescente.

Passo 3

Além disso, temos que a nossa função é contínua! Como em a temos uma derivada menor que 0 e em b temos uma derivada maior que 0 , temos que essa função é uma curva. E essa curva, em algum momento vai der que “dar a volta” (por isso a reta tangente uma hora decresce e outra hora cresce).

No pico “da volta” dessa curva, teremos um ponto crítico (podendo ser um máximo ou mínimo). E a derivada nesse ponto vai ser igual a 0 .

Então, teremos algum ponto c no intervalo ] a , b [ , tal que sua derivada seja 0 :

g ' c = 0

Ou seja, a gente consegue provar essa afirmação analisando as inclinações das retas tangentes!

Resposta

g ' c = 0 no momento que a curva de g(x) muda de inclinação.

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