Enunciado

Determinar dois vetores unitários, tangentes à curva definida pela função dada, no ponto indicado.

d) r → t = t c o s t ,   t s e n t ,   t ; P 0 , π 2 , π 2

Passo 1

A ideia nessa questão será encontrar qual é o ponto da curva tal que r → t 0 = P , em seguida, vamos encontrar a derivada da curva. Para finalizar, vamos achar o a valor da derivada no ponto t 0 e fazer o vetor unitário nesse ponto. Vem comigo!

A curva que ele nos deu foi a seguinte:

r → t = t c o s t ,   t s e n t ,   t

Então vamos achar qual é o ponto t 0 onde r → t 0 = P :

t c o s t 0 ,   t s e n t 0 ,   t 0 = 0 , π 2 , π 2

Pelas coordenadas z :

t 0 = π 2

Passo 2

Para acharmos um vetor tangente a curva, vamos derivar a expressão da curva. Assim,

r ' → t = t c o s t ' , t s e n t ' ,   1

Agora vamos usar a regra do produto para calcular as duas primeiras coordenadas:

t c o s t ' = cos ⁡ t + t - s e n t

Assim,

t c o s t ' = cos ⁡ t - t s e n t

Para coordenada y :

t s e n t ' = s e n t + t c o s t

Então a expressão de r ' → t fica o seguinte:

r ' → t = cos ⁡ t - t s e n t , s e n t + t c o s t ,   1

Passo 3

Pra finalizar, bora vamos calcular o valor de f ' → t no ponto t = t 0 , isto é, t = π 2 .

r ' → t = cos ⁡ t - t s e n t , s e n t + t c o s t ,   1

No ponto t = π 2 :

r ' → π 2 = cos ⁡ π 2 - π 2 s e n π 2 , s e n π 2 + π 2 c o s π 2 ,   1

Fazendo as contas:

r ' → π 2 = - π 2 ,   1 ,   1

Passo 4

Mas ainda não acabou, pois ele nos pede dois vetores unitário. Para isso, vamos “dividir” o vetor pelo seu módulo. Se liga só:

u → = 1 - π 2 2 + 1 2 + 1 2 × - π 2 ,   1 ,   1

Arrumando as coisas:

u → = 2 π 2 + 8 × - π 2 ,   1 ,   1

Portanto,

u → = - π π 2 + 8 ,   2 π 2 + 8 ,   2 π 2 + 8

Como ele nos pede dois vetores podemos apenas mudar o sentido do vetor que achamos, o que irá gerar um vetor ainda tangente. Logo,

± - π π 2 + 8 ,   2 π 2 + 8 ,   2 π 2 + 8

Resposta

± - π π 2 + 8 ,   2 π 2 + 8 ,   2 π 2 + 8

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