Enunciado

No instante t , a posição de uma partícula no espaço é dada por:

x t = t 2

y t = 2 t

z t = 4 t 3

  1. Escrever a função vetorial que nos dá a trajetória da partícula.
  2. Determinar o vetor tangente à trajetória da partícula no ponto P 1,2 , 4 e o vetor aceleração.
  3. Determinar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula para t = 4 .

Passo 1

a) Inicialmente ele nos pede para encontrar uma função vetorial que descreve a trajetória da partícula. Essa função vai ter a seguinte forma:

r → t = x t   i → + y t   j → + z t   k →

Como ele já nos disse os valores de x t , y t e z t basta substituirmos. Assim,

r → t =   t 2   i → + 2 t   j → + 4 t 3   k →

Passo 2

b) A ideia nesse item vai ser encontrar qual é o ponto da trajetória tal que r → t 0 = P , em seguida, vamos encontrar a derivada da curva e pra fechar com chave de ouro vamos achar o a valor da derivada no ponto t 0 . Vamos lá!

r → t 0 =   t 0 2   i → + 2 t 0   j → + 4 t 0 3   k →

Como r → t 0 = P :

t 0 2   i → + 2 t 0   j → + 4 t 0 3   k → = 1 i → + 2 j → + 4 k →

Comparando os termos em j → :

2 t 0 = 2 → t 0 = 1

Passo 3

Agora vamos derivar a expressão de r → t :

r → t 0 =   t 0 2   i → + 2 t 0 1 2   j → + 4 t 0 3 / 2   k →

Derivando,

r ' → t = 2 t 0   i → + 2 × 1 2 t 0 - 1 2   j → + 4 × 3 2 t 0 1 2   k →

Logo,

r ' → t = 2 t 0   i → + 1 t 0 j → + 6 t 0   k →

Para acharmos o vetor tangente basta fazermos acharmos o valor de r ' → t no ponto t = t 0 , isto é, t = 1 . Assim,

r ' → 1 = 2 × 1   i → + 1 1 j → + 6 1   k →

Então o vetor que ele nos pede é o seguinte:

r ' → 1 = 2 i → + 1 j → + 6 k →

Passo 4

Para finalizar o segundo item ele nos pede para acharmos o vetor aceleração da partícula. Como o vetor velocidade é a derivada do vetor trajetória:

v → t = r → t '

Opa, mas do item já encontramos a derivada da trajetória no Passo anterior. Dessa forma:

v → t = 2 t 0   i → + 1 t 0 j → + 6 t 0   k →

Mas ele nos pede a aceleração! Como a aceleração é a derivada da velocidade, vamos derivar a expressão acima.

v → t = 2 t 0   i → + t 0 - 1 2 j → + 6 t 0 1 2   k →

Derivando,

a → t = 2 i → + - 1 2 × t - 3 2   j → + 1 2 × 6 t - 1 2   k →

Portanto,

a → t = 2 i → - 1 2 t 3   j → + 3 t k →

Passo 5

c) Para finalizar vamos encontrar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula no instante t = 4 . O vetor posição será o seguinte:

r → 4 =   4 2   i → + 2 4   j → + 4 4 3   k →

Fazendo as contas:

r → 4 = 16 i → + 4 j → + 32 k →

Já o vetor velocidade:

v → 4 = 2 × 4   i → + 1 4 j → + 6 4   k →

Isto é,

v → 4 = 8 i → + 1 2 j → + 12 k →

E para o vetor aceleração:

a → 4 = 2 i → - 1 2 4 3   j → + 3 4 k →

Logo,

a → 4 = 2 i → - 1 16   j → + 3 2 k →

Resposta

  1. r → t =   t 2   i → + 2 t   j → + 4 t 3   k →

  2. r ' → 1 = 2 i → + 1 j → + 6 k →

    a → t = 2 i → - 1 2 t 3   j → + 3 t k →

r → 4 = 16 i → + 4 j → + 32 k →

v → 4 = 8 i → + 1 2 j → + 12 k →

a → 4 = 2 i → - 1 16   j → + 3 2 k →

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