Enunciado

Determinar o polinômio de Taylor de ordem n , no ponto c dado, das seguintes funções:

f x = e - x ; c = - 1   e   2 ; n = 4

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem n no ponto c é obtido assim:

P n x = f c + f ' c x - c + f ' ' c 2 ! x - c 2 + … + f n c n ! x - c n

A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Só não pode esquecer da regra da cadeia, ok? Vamos até a derivada de grau 4 , já que queremos o Taylor dessa ordem.

f x = e - x

f ' x = - e - x

f 2 ' x 2 ! = 1 2 × e - x

f 3 ' x 3 ! = 1 6 × - e - x

f 4 ' x 4 ! = 1 24 × e - x

Então o polinômio de Taylor vai ser:

P 4 x = e - c - e - c x - c + 1 2 e - c x - c 2 - 1 6 e - c x - c 3 + 1 24 e - c x - c 4

Como todos os termos têm e - c , vamos botar em evidência:

P 4 x = e - c 1 - x - c + x - c 2 2 - x - c 3 6 + x - c 4 24

Passo 3

No ponto c = - 1 :

P 4 x = e 1 - x - ( - 1 ) + x - ( - 1 ) 2 2 - x - ( - 1 ) 3 6 + x - ( - 1 ) 4 24

Arrumando,

P 4 x = e - x + x + 1 2 2 - x + 1 3 6 + x + 1 4 24

Passo 4

No ponto c = 2 :

P 4 x = e - 2 1 - x - 2 + x - 2 2 2 - x - 2 3 6 + x - 2 4 24

Simplificando,

P 4 x = 1 e 2 3 - x + x - 2 2 2 - x - 2 3 6 + x - 2 4 24

Resposta

Em c = - 1 :

P 4 x = e - x + x + 1 2 2 - x + 1 3 6 + x + 1 4 24

Em c = 2 :

P 4 x = 1 e 2 3 - x + x - 2 2 2 - x - 2 3 6 + x - 2 4 24

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Determinar o polinômio de Taylor de ordem n , no ponto c dado, das seguintes funções: f x = ln ⁡ 1 - x ; c = 0e 1 2 ; n = 4