Verifique que

sen(x) = x + o(x^2)

Passo 1

Nesse tipo de exercício não tem muito mistério, temos que lembrar da expressão lá da teoria:

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + o x - x 0 2

Repare que vamos usar essa expressão pois temos o termo x 2 no fator o x 2 .

Passo 2

A ideia vai ser considerarmos f x = s e n x e o ponto x 0 = 0 para o termo o x - x 0 2 virar o x 2 . Então vamos lá!

f 0 = s e n 0 → f 0 = 0

Não esquece: s e n x ' = c o s x

f ' x = cos ⁡ x

Logo,

f ' 0 = cos ⁡ 0 → f ' 0 = 1

Não esquece: c o s x ' = - s e n x

f ' ' x = - s e n x

Assim,

f ' ' 0 = 0

Passo 3

Voltando para expressão do Passo 1:

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + o x - 0 2

Substituindo com o que achamos no Passo 2

s e n x = s e n 0 + cos ⁡ 0 x - 0 + - s e n 0 2 x - 0 2 + o x - 0 2

Isto é,

s e n x = 0 + x + 0 + o x 2

Portanto,

s e n x = x + o x 2

E assim terminamos nossa verificação 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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