Enunciado

Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:

a) 2 x 2 + 3 y 2 = 8 ; P 1 ,   2

Passo 1

A ideia nessa questão é lembrar que o vetor gradiente é normal a curva. Então vamos montar uma expressão para f x , y e acharmos o gradiente de f . Por fim, vamos verificar o valor do gradiente no ponto 1 , 2 . A expressão que ele nos deu foi a seguinte:

2 x 2 + 3 y 2 = 8

Isto é,

2 x 2 + 3 y 2 - 8 = 0

Então a expressão para f x , y fica o seguinte:

f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 - 8

Passo 2

Agora que já encontramos f x , y vamos ver como fica o gradiente de f :

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Assim,

∇ f x , y = ∂ 2 x 2 + 3 y 2 - 8 ∂ x i → + ∂ 2 x 2 + 3 y 2 - 8 ∂ y j →

Derivando parcialmente, temos:

∇ f x , y = 4 x   i → + 6 y   j →

Passo 3

Para finalizarmos esse exercício, basta verificarmos o valor do gradiente no ponto 1 ,   2 , isto é, ∇ f 1 ,   2 .

∇ f 1 ,   2 = 4 × 1 i → + 6 × 2 j →  

Fazendo as contas:

∇ f 1 ,   2 = 4   i → + 6 2   j →  

Representando geometricamente esse vetor:

Resposta

Vetor:

∇ f 1 ,   2 = 4   i → + 6 2   j →  

Representação geométrica:

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Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:a) 2 x + 5 y + 3 z = 10 ; P 1,2 , - 2 3
Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:c) 2 z = x 2 + y 2 ; P 1,1 , 1
Traçar as curvas de nível de f x , y = 1 2 x 2 + 1 2 y 2 que passem pelos pontos 1,1 , 1 , - 2 e - 2 , - 1 . Traçar os vetores ∇ f 1,1 , ∇ f 1 , - 2 e∇ f - 2 , - 1 .
Determinar o vetor gradiente das seguintes funções:b) z = 2 x 2 + y 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:j) f x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 = x 1 x 2 - x 1 x 3 + x 4 ; P 2 ,2 ,1 ,3