Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ e x x 2

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = e ∞ ∞ 2

Fazendo as contas:

L = ∞ ∞

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

O limite que ele nos deu foi o seguinte:

lim x → + ∞ ⁡ e x x 2

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → + ∞ ⁡ e x 2 × x

Assim,

L = lim x → + ∞ ⁡ e x 2 x

Se fizermos x = ∞   :

L = e ∞ 2 × ∞

Logo,

L = ∞ ∞

Opa, caímos numa indeterminação novamente. Então vamos aplicar a regra de L’Hospital de novo!

Passo 3

Derivando, novamente:

L = lim x → + ∞ ⁡ e x 2

Fazendo x = ∞ :

L = e ∞ 2

Portanto,

L = ∞

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ e x x 2 = ∞

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