Enunciado

Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio 12   c m ?

Passo 1

Inicialmente, podemos fazer uma ilustração para entender melhor o que está acontecendo. Assim,

Como o raio da circunferência é 12   c m , então a diagonal do retângulo será 24   c m . Para relacionar l e h , podemos fazer o teorema de Pitágoras.

l 2 + h 2 = 24 2

Isolando o h :

h = 24 2 - l 2     i

Passo 2

Como queremos saber a valor máximo do perímetro, vamos começar montando uma expressão para ele. Chamando o perímetro de y :

y = 2 l + 2 h

Da expressão ( i ) :

y = 2 l + 2 24 2 - l 2

Para achar o perímetro mínimo, vamos derivar. Assim,

y ' = 2 + 2 1 2 × 1 24 2 - l 2 × 24 2 - l 2 '

Cuidado para não esquecer da regra da cadeia.

y ' = 2 - 2 l 24 2 - l 2

Passo 3

Para acharmos os pontos critico, vamos igualar a zero. Assim,

2 - 2 l 24 2 - l 2 = 0

Portanto,

2 24 2 - l 2 = 2 l

Simplificando:

24 2 - l 2 = l

Elevando os dois lados ao quadrado:

24 2 - l 2 = l 2

Logo,

l 2 = 24 2 2 → l = 288

Para acharmos h , basta usarmos a relação do Passo 1:

h = 24 2 - l 2  

Assim,

h = 24 2 - 288

portanto,

h = 288

Como encontramos l = h = 288 , teremos um quadrado de lado 288 .

Resposta

Quadrado de lado 288

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