Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → ∞ ⁡ x 2 e 1 x - 1

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = ∞ 2 × e 1 ∞ - 1

Como 1 ∞ = 0 :

L = ∞ × 1 - 1

Fazendo as contas:

L = ∞ × 0

Repare que isso não é uma das indeterminações que podemos aplicar L’Hospital, então vamos escrever nosso limite da seguinte forma:

L = lim x → ∞ ⁡ e 1 x - 1 1 x 2

Viu que só passarmos o x 2 para baixo?! Se fizermos x = ∞ :

L = ∞ ∞

Opa, agora chegamos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

O nosso limite é o seguinte:

L = lim x → ∞ ⁡ e 1 x - 1 1 x 2

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → ∞ ⁡ e 1 x - 1 ' - 2 x 3

Agora vamos calcular o numerador separadamente!

N = e 1 x - 1 '

Como a derivada de uma constante é zero:

N = e 1 x '

Pra resolver essa derivada vamos fazer o seguinte:

y = e 1 x

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ e 1 x

Logo,

ln ⁡ y = 1 x ln ⁡ e

Isto é,

ln ⁡ y = 1 x

Derivando,

1 y y ' = - 1 x 2

Como y = e 1 x :

y ' = - e 1 x x 2

Passo 3

Então nosso limite vai ficar assim ó:

L = lim x → ∞ ⁡ - e 1 x x 2 - 2 x 3

Simplificando:

L = lim x → ∞ ⁡ x e 1 x 2

Fazendo x = ∞ :

L = ∞ × e 1 ∞ 2

Como 1 ∞ = 0 :

L = ∞ × e 0 2

Portanto,

L = ∞

Resposta

L = ∞

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