Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ s e n h x s e n x

Passo 1

Essa questão pode assustar, pois ele mistura s e n h ( x ) com s e n ( x ) , mas calma! Vem comigo!

Para o s e n h x :

s e n h x = e x - e - x 2

substituindo isso na expressão do nosso limite:

L = lim x → 0 ⁡ e x - e - x 2 s e n x

Assim,

L = lim x → ∞ ⁡ e x - 1 e x 2 s e n x

Simplificando:

L = lim x → ∞ ⁡ e 2 x - 1 2 e x s e n x

Agora que já organizamos aquela coisa feia, vamos partir para calcular o limite!

Passo 2

A primeira coisa que podemos tentar agora é substituir x = ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá! L = e 2 × 0 - 1 2 × e 0 × s e n 0

Assim,

L = 0 0

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo 0 0 . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 3

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L = lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 2 e x s e n x

Derivando,

L = lim x → 0 ⁡ 2 × e 2 x 2 e x s e n x '

Para calcular esse denominador, vamos usar a regra do produto.

2 e x s e n x ' = 2 e x s e n x + 2 e x cos ⁡ x

Substituindo no limite:

L = lim x → 0 ⁡   2 e 2 x 2 e x s e n x + 2 e x cos ⁡ x

Simplificando:

L = lim x → 0 ⁡   e x s e n x + cos ⁡ x

Fazendo x = 0 :

L = e 0 s e n 0 + cos ⁡ 0 → L = 1 0 + 1

Portanto,

L = 1

Resposta

L = 1

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Use Lh’hospital para determinar o limite lim x → 0 ⁡c o s s e c x - c o t g x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0⁡ 10 x - 1 x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Use Lh’ospital o limite lim θ → 0⁡ 3 θ - 1 θ
Use Lh’ospital o limite lim x → 0⁡ 2 - s e n x - 1 e x - 1