Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ c o s 2 x 3 x 2

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

L = lim x → 0 ⁡ c o s 2 x 3 x 2 = 1 3 0 = 1 ∞

Bom, esse é um limite que a gente claramente não sabe calcular, mas sabemos que quando aparecer expressões com essa cara, o macete é usar o nosso amigo, o número de Neper, e . Você pode até olhar e pensar que sabe calcular sim, já que 1 elevado a qualquer coisa é 1 , mas lembra que o valor não é exatamente 1 , ele está se aproximando de lá. É só um limite!

Passo 2

Pega a idéia:

L = lim x → 0 ⁡ c o s 2 x 3 x 2

A gente pode reescrever qualquer número assim:

n = a b → n = e ln ⁡ a b

E pela regra do expoente:

n = e b ln ⁡ a

Fazendo aqui no limite:

L = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ c o s 2 x 3 x 2

L = lim x → 0 ⁡ e 3 x 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x

Como a base é constante, o limite só depende do expoente!

L = e lim x → 0 ⁡ 3 ln ⁡ c o s 2 x x 2

Passo 3

Beleza, então vamos calcular esse limite do expoente.

lim x → 0 ⁡ 3 ln ⁡ c o s 2 x x 2

Se a gente substituir direto, vamos achar uma indeterminação 0 0 . Isso aí tá pedindo L’Hospital! Derivando, sem esquecer da regra da cadeia:

lim x → 0 ⁡ 3 ln ⁡ c o s 2 x x 2 = lim x → 0 ⁡ 3 × 1 c o s 2 x × - s e n 2 x × 2 2 x

lim x → 0 ⁡ 3 ln ⁡ c o s 2 x x 2 = lim x → 0 ⁡ - 3 s e n 2 x x c o s 2 x

Separando esse limite:

lim x → 0 ⁡ - 3 s e n 2 x x c o s 2 x = - 3 lim x → 0 ⁡ s e n 2 x x lim x → 0 ⁡ 1 c o s 2 x

O segundo limite é fácil, porque substituindo o x por 0 , vamos ficar com:

lim x → 0 ⁡ 1 c o s 2 x = 1 c o s 0 = 1

E aplicando L’Hospital no primeiro:

lim x → 0 ⁡ s e n 2 x x = lim x → 0 ⁡ 2 c o s 2 x 1 = 2

Portanto,

lim x → 0 ⁡ 3 ln ⁡ c o s 2 x x 2 = lim x → 0 ⁡ - 3 s e n 2 x x c o s 2 x = - 3 2 1 = - 6

Passo 4

Beleza, esse é o limite do expoente. Então o limite todo dá:

L = e lim x → 0 ⁡ 3 ln ⁡ c o s 2 x x 2

L = e - 6

L = 1 e 6

Resposta

e lim x → 0 ⁡ 3 ln ⁡ c o s 2 x x 2 = 1 e 6

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