Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 + ⁡ x 1 t g x

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

L = lim x → 0 + ⁡ x 1 t g x = 0 1 t g 0 = 0 ∞

Bom, esse é um limite que a gente claramente não sabe calcular, mas sabemos que quando aparecer expressões com essa cara, o macete é usar o nosso amigo, o número de Neper, e .

Passo 2

Pega a idéia:

L = lim x → 0 + ⁡ x 1 t g x

A gente pode reescrever qualquer número assim:

n = a b → n = e ln ⁡ a b

E pela regra do expoente:

n = e b ln ⁡ a

Fazendo aqui no limite:

L = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x 1 t g x

L = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x t g x

Como a base é constante, o limite só depende do expoente!

L = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x t g x

Passo 3

Beleza, então vamos calcular esse limite do expoente.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x t g x

Se a gente substituir direto, vamos achar uma indeterminação, - ∞ 0 . Isso é infinito dividido por 0 , que fica mais infinito ainda, só que pro negativo. Então:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x t g x = - ∞

Passo 4

Beleza, esse é o limite do expoente. Então o limite todo dá:

L = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x t g x

L = e - ∞

L = 0

Resposta

e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x t g x = 0

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