Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

L = lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x = 1 ∞

Pra sair dessa furada, vamos recorrer ao nosso amigo número de Neper.

Passo 2

Um número qualquer n que seja uma potência pode ser reescrito assim:

n = a b → n = e ln ⁡ a b = e b ln ⁡ a

Então vamos fazer isso com nosso limite!

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ e x + x 1 x = lim x → 0 ⁡ e 1 x ln ⁡ ( e x + x )

Como a base é constante, o limite só depende do expoente!

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x x ⁡

Passo 3

Agora vamos mexer nesse limite do expoente. Lembra dessa propriedade de logaritmo?

log ⁡ a b = log ⁡ a + l o g ⁡ ( b )

Vamos usar, já separando em dois limites!

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x 1 + x e - x x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x x + lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x e - x x

O primeiro fica assim:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x x = lim x → 0 ⁡ x ln ⁡ e x = lim x → 0 ⁡ 1 = 1

E o segundo vai precisar de um L’Hospitalzinho. Aplicando, tomando cuidado com a regra da cadeia e do produto na derivada do numerador:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x e - x x = lim x → 0 ⁡ e - x - x e - x x e - x + 1 1

Arrumando,

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x e - x x = lim x → 0 ⁡ 1 - x x + e x = 1 - 0 0 + e 0 = 1

Passo 4

Juntando os dois limites:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x x = 1 + 1 = 2

Mas esse é o limite do expoente! Não podemos esquecer da base.

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x x = e 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x = e 2

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Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 1 + x 1 / x - 1
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ x - 1 l n x
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ xt g π 2 - x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x 1 2 ln ⁡ x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x