Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → 1 ⁡ x 1 1 - x

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

L = lim x → 1 ⁡ x 1 1 - x = 1 1 1 - 0 = 1 ∞

Bom, esse é um limite que a gente claramente não sabe calcular, mas sabemos que quando aparecer expressões com essa cara, o macete é usar o nosso amigo, o número de Neper, e .

Passo 2

Pega a idéia:

L = lim x → 1 ⁡ x 1 1 - x

A gente pode reescrever qualquer número assim:

n = a b → n = e ln ⁡ a b

E pela regra do expoente:

n = e b ln ⁡ a

Fazendo aqui no limite:

L = lim x → 1 ⁡ e l n x 1 1 - x

L = lim x → 1 ⁡ e 1 1 - x ln ⁡ ( x )

Como a base é constante, o limite só depende do expoente!

L = e lim x → 1 ⁡ 1 1 - x ln ⁡ ( x )

Passo 3

Beleza, então vamos calcular esse limite do expoente.

lim x → 1 ⁡ l n ⁡ ( x ) 1 - x

Se a gente substituir direto, vamos achar uma indeterminação, 0 0 . Podemos aplicar a regra de L’Hospital!

lim x → 1 ⁡ l n ⁡ ( x ) 1 - x = lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ - 1 x

Prontinho, substituindo, vamos encontrar:

lim x → 1 ⁡ l n ⁡ ( x ) 1 - x = - 1

Passo 4

Beleza, esse é o limite do expoente. Então o limite todo dá:

L = e lim x → 1 ⁡ 1 1 - x ln ⁡ ( x )

L = e - 1

L = 1 e

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 1 1 - x = 1 e

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