Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ 5 - x + x 2 2 - x - 2 x 2

Passo 1

O limite que ele nos pede para calcular é o seguinte:

L = lim x → + ∞ ⁡ 5 - x + x 2 2 - x - 2 x 2

Repare que quando x → ∞ a função x 2 cresce muito mais rápido que 5 - x . Assim, podemos desprezar o termo 5 - x . A mesmo coisa ocorre para o termo 2 - x em relação ao - 2 x 2 . Logo,

L = lim x → + ∞ ⁡ x 2 2 x 2

Agora vamos fazer x = ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = ∞ 2 × ∞ 2

Logo,

L = ∞ ∞

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → + ∞ ⁡ 2 × x 2 × 2 x

Se fizermos x = ∞   :

L = 2 × ∞ 2 × 2 × ∞

Assim,

L = ∞ ∞

Eita, caímos numa indeterminação de novo, então vamos aplicar a regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 3

Derivando em cima e embaixo novamente:

L = lim x → + ∞ ⁡ 2 - 4  

Assim,

L = lim x → + ∞ - ⁡ 1 2

Portanto,

L = - 1 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 5 - x + x 2 2 - x - 2 x 2 = - 1 2

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Calculeg) lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x ln ⁡ x
Calculeb) lim x → 0 + ⁡ x 2 + t g 3x s e n 3x
Calculen) lim x → + ∞ ⁡ x 3 e - 4 x
Calculei) lim x → 0 + ⁡ 1 x + ln ⁡ x
Calculed) lim x → + ∞ ⁡ e 3 x x 2