Enunciado

Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.

e) f → = 10 x z + y sen ⁡ x y i → + x sen ⁡ x y j → + 5 x 2 k →

Passo 1

Pelo teorema 6.9 . 3 , se rot ⁡ f → = 0 , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que f → admite uma função potencial f x , y , z . Vamos então calcular rot ⁡ f → para verificar polo teorema 6.9 . 3 se o campo é conservativo.

Então basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3

rot ⁡ f → = ∂ 5 x 2 ∂ y - ∂ x sen ⁡ x y ∂ z i → + ∂ 10 x z + y sen ⁡ x y ∂ z - ∂ 5 x 2 ∂ x j → + ∂ x sen ⁡ x y ∂ x - ∂ 10 x z + y sen ⁡ x y ∂ y k →

rot ⁡ f → = 0 - 0 i → + 10 x - 1 0 x j → + sen ⁡ x y + x y cos ⁡ x y - sen ⁡ x y - x y cos ⁡ x y k →

rot ⁡ f → = 0 i → + 0 j → + 0 k →

rot ⁡ f → = 0 →

Podemos observar que rot ⁡ f → = 0 → , portanto o campo vetorial é conservativo em R 3 , e f → admite uma função potencial f x , y , z .

Passo 2

Agora vamos então encontrar o a função potencial do campo vetorial conservativo. Para isso temos que resolver o seguinte sistema de equações:

∂ f ∂ x = 10 x z + y sen ⁡ x y ∂ f ∂ y = x sen ⁡ x y ∂ f ∂ z = 5 x 2

Passo 3

Usamos a primeira equação e a integramos em função de x , assim temos:

∂ f = 10 x z + y sen ⁡ x y ∂ x

f = ∫ 10 x z + y sen ⁡ x y d x + a y , z

f = 5 x 2 z - cos ⁡ x y + a y , z

Agora derivamos a f encontrada em função de y e comparamos com a segunda equação.

∂ f ∂ y = x sen ⁡ x y + d a d y

Comparando com a segunda equação temos:

x sen ⁡ x y + d a d y = x sen ⁡ x y

d a d y = 0

Podemos perceber que a ( y , z ) só depende de z , assim temos:

a = b z

Temos que f x , y , z = 5 x 2 z - cos ⁡ x y + b z

Agora derivamos a f encontrada em função de z e comparamos com a terceira equação.

∂ f ∂ z = 5 x 2 + d b d z

Comparando com a terceira equação temos:

5 x 2 + d b d z = 5 x 2

d b d z = 0

Podemos perceber que b z não depende de z , assim temos:

b = c

Assim temos que a função potencia f x , y , z é :

f x , y , z = 5 x 2 z - cos ⁡ x y + c

Resposta

rot ⁡ f → = 0 →

Campo vetorial conservativo em R 3 , f → admite uma função potencial f x , y , z .

f x , y , z = 5 x 2 z - cos ⁡ x y + c

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