Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 4.10 - Ex. 6

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desse livro

Determinar d z d t , usando a regra da cadeia

z   = x y ,   x = e - t   ,   y = l n t

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y   =   f x   e   x = h ( t ) tem se

d y d t = d f x d x . d x d t

Se ambas f   e   h   forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z   =   f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g t e y   = h t diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

d z d t = ∂ z ∂ x . d x d t + ∂ z ∂ y . d y d t

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . d x ( t 0 ) d t + ∂ f x , y ∂ y . d y t 0 d t

∂ f x , y ∂ x = 1 y

∂ f x , y ∂ y = - x y 2

d x ( t ) d t = - e - t

d y t d t = 1 t  

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

d f x , y d t =   1 y × - e - t - x y 2 × 1 t =

Deixando tudo numa só variável (t)

= 1 ln ⁡ t   × - e - t - e - t ln 2 ⁡ t × 1 t =

Resposta

1 ln ⁡ t   × - e - t - e - t ln 2 ⁡ t × 1 t

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