Determine dy/dx :

y = ∫ 1 e x ln ⁡ t 2 + 1   d t

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F x = ∫ a x f t d t é contínua em [ a , b ] e derivável em a , b e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' x = d d x   ∫ a x f t d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite superior de integração não é x , mas e x . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = ∫ 1 u ln ⁡ ( t 2 + 1 ) d t                                     e                                               u = e x

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 2

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y / d x .

d y d x = d y d u × d u d x

Assim, temos:

F ' x = d d x ∫ 1 u ln ⁡ ( t 2 + 1 ) d t   × d u d x = ln ⁡ u 2 + 1 × e x 2 √ x = ln ⁡ [ ( e x ) 2 + 1 ] × e x 2 √ x =

= [ ln ⁡ e 2 x + ln ⁡ 1 ] × e x 2 √ x = 2 x × e x 2 √ x = e x  

Resposta

e x

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