1. Calcule ∫ 0 π G x d x   onde   G x =   ∫ π x s e n   t 2 d t . (Sugestão: integre por partes.)

Passo 1

Como o enunciado nos deu a dica de integrar por parte, vamos fazer isso. Quando queremos integrar por partes entre dois pontos definidos, temos que fazer o seguinte:

∫ a b u d v = u v a b - ∫ a b v d u

Passo 2

Nossa expressão é a seguinte:

∫ 0 π G x d x

Comparando com:

∫ a b u d v

Temos o seguinte:

u = G x   e   d v = d x

Logo,

d u = G ' ( x ) e v = x

Para acharmos o G ' ( x ) , vamos usar o Teorema Fundamental do Calculo. Vem comigo!

G x =   ∫ π x s e n   t 2 d t

Assim,

G ' x = s e n 2 x 2   d x

Usando integração por partes:

∫ 0 π u d v = u v 0 π - ∫ 0 π v d u

Trocando pelas variáveis que encontramos:

∫ 0 π G x d x = x ∫ π x s e n   t 2 d t 0 π - ∫ 0 π x s e n 2 x 2 d x

Passo 3

Agora vamos resolver esse expressão feiosa. A primeira é a seguinte:

I 1 = x ∫ π x s e n   t 2 d t 0 π

Aplicando entre os ponto π e 0:

I 1 = x ∫ π π s e n   t 2 d t - 0 × ∫ π 0 s e n   t 2 d t

No primeiro termo estamos integrando entre os mesmos ponto. Assim, nossa integral é 0. Logo,

I 1 = 0 - 0 = 0

Agora vamos ver a segunda parcela da integral:

I 2 = ∫ 0 π x s e n x 2 d x

Para resolver, vamos fazer a seguinte substituição:

u = x 2

Derivando,

d u = 2 x d x

Como fizemos uma substituição, temos que mudar o limite de integração!

x = 0 → u = 0

x = π → u = π 2

Logo,

I 2 = ∫ 0 π 2 1 2 s e n u d u

Não esquece: ∫ s e n x   d x = - c o s ⁡ ( x ) + c

Integrando:

I 2 = 1 2 - cos ⁡ u | 0 π 2

Fazendo as contas:

I 2 = 1 2 - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ 0

Isto é,

I 2 = - 1 2 ( cos ⁡ π 2 - 1 )

Agora é só correr pro abraço:

∫ 0 π G x d x = I 2 - I 2

Então,

∫ 0 π G x d x = 1 2 cos ⁡ π 2 - 1

Resposta

∫ 0 π G x d x = 1 2 cos ⁡ π 2 - 1

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