Enunciado

Determine underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(x + 9) - sqrt(x + 4))

Passo 1

O primeiro passo consiste procurar reescrever a função que foi dada no enunciado. Faremos isso para que as contas fiquem mais simples e possamos usar coisas que já sabemos.

Como estamos lidando com uma função que possui raiz quadrada e o limite é de x -> oo . Uma boa opção seria reescrever essa função através de uma racionalização, que consiste em multiplicar a função que temos por 1, entretanto esse 1 é representado de maneira conveniente. Exemplo: sqrt(a) - b = (sqrt(a) - b) . 1 = sqrt(a) - b . [(sqrt(a) + b)/(sqrt(a) + b)] = (( sqrt(a) - b ) . ( sqrt(a) + b ))/(sqrt(a) + b)

Então, se racionalizarmos a função temos,

underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(x + 9) - sqrt(x + 4)) = underset(x -> oo)(l i m) [sqrt(x + 9) - sqrt(x + 4)] . [(sqrt(x + 9) - sqrt(x + 4))/(sqrt(x + 9) + sqrt(x + 4))] = underset(x -> oo)(l i m) ([sqrt(x + 9) - sqrt(x + 4)] . [sqrt(x + 9) - sqrt(x + 4)])/(sqrt(x + 9) + sqrt(x + 4))

Passo 2

O segundo passo é reorganizar os termos que obtemos no passo 1, isso pode ser feito através da propriedade distributiva, ou chuveirinho como algumas pessoas conhecem, ou seja,

underset(x -> oo)(l i m) ([sqrt(x + 9) - sqrt(x + 4)] . [sqrt(x + 9) - sqrt(x + 4)])/(sqrt(x + 9) + sqrt(x + 4))

= underset(x -> oo)(l i m) ((sqrt(x + 9))^2 - (sqrt(x + 9) . sqrt(x + 4)) + (sqrt(x + 4 .) sqrt(x + 9)) - (sqrt(x + 4 ))^2)/(sqrt(x + 9) + sqrt(x + 4)) = underset(x -> oo)(l i m) ((x + 9) - (x + 4))/(sqrt(x + 9) + sqrt(x + 4)) = underset(x -> oo)(l i m) (x + 9 - x - 4)/(sqrt(x + 9) + sqrt(x + 4)) = underset(x -> oo)(l i m) (5)/(sqrt(x + 9) + sqrt(x + 4))

Passo 3

O terceiro passo é perceber que não há mais possibilidade de arrumar a nossa função, então isso significa que retornamos para um lugar conhecido, ou seja, vamos utilizar os truques de limite quando x -> oo e função é uma divisão de polinômios. Isso quer dizer que vamos dividir em cima e em baixo, pelo termo de maior grau.

Então o limite ficará da forma:

underset(x -> oo)(l i m) (5)/(sqrt(x + 9) + sqrt(x + 4)) = underset(x -> oo)(l i m) ((5)/(sqrt(x)))/((sqrt(x + 9))/(sqrt(x)) + (sqrt(x + 4))/(sqrt(x))) = underset(x -> oo)(l i m) ((5)/(sqrt(x)))/(sqrt((x + 9)/(x)) + sqrt((x + 4)/(x))) = underset(x -> oo)(l i m) ((5)/(sqrt(x)))/(sqrt((x)/(x) + (9)/(x)) + sqrt((x)/(x) + (4)/(x))) = underset(x -> oo)(l i m) ((5)/(sqrt(x)))/(sqrt(1 + (9)/(x)) + sqrt(1 + (4)/(x))) = (underset(x -> oo)(l i m) (5)/(sqrt(x)))/(underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(1 + (9)/(x)) + sqrt(1 + (4)/(x)))) = (underset(x -> oo)(l i m) (5)/(sqrt(x)))/(underset(x -> oo)(l i m) sqrt(1 + (9)/(x)) + underset(x -> oo)(l i m) sqrt(1 + (4)/(x)))

Passo 4

O terceiro passo é utilizar as propriedades de limites (soma, subtração, divisão...) que já sabemos, para com isso obter o resultado.

(underset(x -> oo)(l i m) (5)/(sqrt(x)))/(underset(x -> oo)(l i m) sqrt(1 + (9)/(x)) + underset(x -> oo)(l i m) sqrt(1 + (4)/(x))) = (underset(x -> oo)(l i m) (5)/(sqrt(x)))/(sqrt(underset(x -> oo)(l i m) (1 + (9)/(x))) + sqrt(underset(x -> oo)(l i m) (1 + (4)/(x)))) = (underset(x -> oo)(l i m) (5)/(sqrt(x)))/(sqrt(underset(x -> oo)(l i m) 1 + underset(x -> oo)(l i m) (9)/(x)) + sqrt(underset(x -> oo)(l i m) 1 + underset(x -> oo)(l i m) (4)/(x)))

= (0)/(sqrt(1 + 0) + sqrt(1 + 0)) = (0)/(sqrt(1) + sqrt(1)) = (0)/(1 + 1) = (0)/(2) = 0

Resposta

underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(x + 9) - sqrt(x + 4)) = 0 .

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