Enunciado

Se g (x , y , z) = sqrt(1 + x z) + sqrt(1 - x y) , determine g_x y z .

Passo 1

A questão fornece uma função g de x , y e z e pede para encontrarmos g_x y z (terceira derivada mista). Você pode tentar resolver o exercício na força bruta seguindo a ordem: primeiro x , depois y e por fim z . Mas tem um jeito mais fácil!

Você pode inverter a ordem das derivadas para deixar as expressões mais simples! Note que x aparece nas duas raízes, então seria mais interessante derivar primeiro com relação a y ou a z , para eliminar uma das raízes.

Derivando primeiro com relação a z :

g_z = (1)/(2 sqrt(1 + x z)) * (del)/(del z) (1 + x z) = (x)/(2 sqrt(1 + x z))

Passo 2

Poderíamos agora derivar com relação a x , mas note que se derivarmos com relação a y as coisas se simplificam muito:

g_z y = (del)/(del y) ((x)/(2 sqrt(1 + x z))) = 0

Assim,

g_z y x = 0

Como podemos inverter a ordem das derivadas:

g_x y z = g_z y x = 0

Resposta

g_x y z = 0

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