Enunciado

Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = x   s e n   ( x + y ) ,                       ( - 1 ,   1 ,   0 )

Passo 1

A questão pede para para encontrarmos a equação do plano tangente à superfície z = z ( x , y ) no ponto ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) :

z - z 0 = ∂ z ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ z ∂ y x 0 , y 0 ( y - y 0 )

Neste caso, temos z = x   s e n   ( x + y ) , de modo que

∂ z ∂ x = s e n   x + y + x cos ⁡ ( x + y )

∂ z ∂ y = x cos ⁡ ( x + y )

Passo 2

Usando x 0 = - 1 e y 0 = 1 :

∂ z ∂ x - 1 ,   1 = s e n   0 - cos ⁡ 0 = - 1

∂ z ∂ y - 1 ,   1 = - cos ⁡ 0 = - 1

Assim, a equação do plano será

z = - x + 1 - ( y - 1 )

Portanto,

z = - x - y

Resposta

z = - x - y

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