Enunciado

Se r (t) = ( e^(2 t) , e^(- 2 t) , t e^(2 t) ) , determine T (0) , r ' ' ( 0 ) e r^' (t) * r ' ' ( t ) .

Passo 1

A derivada r ' ( t ) da função vetorial r ( t ) é obtida derivando-se seus componentes:

r^' (t) = ( 2 e^(2 t) , - 2 e^(- 2 t) , t 2 e^(2 t) + e^(2 t) )

r^' (t) = ( 2 e^(2 t) , - 2 e^(- 2 t) , e^(2 t) ( 2 t + 1 ) )

A segunda derivada, por sua vez, é obtida derivando-se a primeira derivada. Logo, temos:

r^(' ') (t) = (4 e^(2 t) , 4 e^(- 2 t) , 2 e^(2 t) + 2 e^(2 t) (2 t + 1))

r^(' ') (t) = ( 4 e^(2 t) , 4 e^(- 2 t) , 2 e^(2 t) ( 2 + 2 t ) )

r^(' ') (t) = ( 4 e^(2 t) , 4 e^(- 2 t) , e^(2 t) ( 4 + 4 t ) )

Passo 2

O vetor tangente unitário em t = 0 da função vetorial é dado por

T (0) = (r^' (0))/(|r^' (0)|)

Por isso vamos calcular r ' ( 0 ) , bastando para isso, substituir t = 0 no vetor obtido no primeiro passo.

r^' (0) = ( 2 e^0 , - 2 e^0 , e^0 ( 0 + 1 ) )

r^' (0) = ( 2 , - 2 , 1 )

O módulo do vetor acima pode ser calculado facilmente como mostrado a seguir:

|r^' (0)| = sqrt((2)^2 + (- 2)^2 + (1)^2)

|r^' (0)| = sqrt(9) = 3

Agora já podemos calcular T ( 0 ) :

T (0) = (1)/(|r^' (0)|) * r ' ( 0 )

T (0) = (1)/(3) * ( 2 , - 2 , 1 )

T (0) = ( (2)/(3) , - (2)/(3) , (1)/(3) )

Passo 3

Para obter r ' ' ( 0 ) basta substituir t = 0 no vetor r ' ' ( t ) obtido no Passo 1.

r^(' ') (0) = ( 4 e^0 , 4 e^0 , e^0 ( 4 + 0 ) )

r^(' ') (0) = ( 4 , 4 , 4 )

Passo 4

Das derivadas da função vetorial, obtidas no Passo 1, calculamos o produto escalar

r^' (t) * r ' ' ( t ) :

r^' (t) * r^(' ') (t) = (2 e^(2 t) , - 2 e^(- 2 t) , e^(2 t) (2 t + 1)) * ( 4 e^(2 t) , 4 e^(- 2 t) , e^(2 t) ( 4 + 4 t ) )

= (2 e^(2 t)) (4 e^(2 t)) + (- 2 e^(- 2 t)) (4 e^(- 2 t)) + [e^(2 t) (2 t + 1)] [ e^(2 t) (4 + 4 t) ]

= 8 e^(4 t) - 8 e^(- 4 t) + [ e^(4 t) (8 t^2 + 12 t + 4) ]

= e^(4 t) (8 t^2 + 12 t + 12) - 8 e^(- 4 t)

Resposta

T (0) = ( (2)/(3) , - (2)/(3) , (1)/(3) )

r^(' ') (0) = ( 4 , 4 , 4 )

r^' (t) * r^(' ') (t) = e^(4 t) (8 t^2 + 12 t + 12) - 8 e^(- 4 t)

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