Enunciado

Encontre r (t) se r^' (t) = t i + e^t j + t e^t k e r (0) = i + j + k .

Passo 1

A função vetorial r ( t ) é primitiva da função r ' ( t ) . Assim, temos

r (t) = int r^' (t) d t

r (t) = int ( t i + e^t j + t e^t k ) d t

Separando a integral por termos obtemos:

r (t) = (int t d t) i + (int e^t d t) j + ( int t e^t d t ) k

OBS: A terceira integral pode ser resolvida por partes tomando-se u = t e d v = e^t d t . Voltando a resolução temos

r ( t ) = (t^2)/(2) i + e^t j + ( t e^t - e^t ) k + C

OBS: C é um vetor contante

Passo 2

No passo anterior obtemos uma forma geral para r ( t ) dentro da qual existe um vetor C constante desconhecido. Contudo, foi dada uma outra informação no enunciado:

r (0) = i + j + k

Com essa informação poderemos obter o valor de C. Da equação de r ( t ) obtida no Passo 1, temos:

r (0) = (0^2)/(2) i + e^0 j + ( 0 e^0 - e^0 ) k + C

r (0) = j - k + C

Igualando esse resultado à informação dada no enunciado obtemos

j - k + C = i + j + k

C = i + 2 k

Passo 3

Substituindo o valor de C obtido no Passo 2, dentro da equação de r ( t ) , obtemos:

r ( t ) = (t^2)/(2) i + e^t j + ( t e^t - e^t ) k + i + 2 k

r (t) = ((t^2 + 2)/(2)) i + e^t j + ( t e^t - e^t + 2 ) k

Resposta

r (t) = ((t^2 + 2)/(2)) i + e^t j + ( t e^t - e^t + 2 ) k

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