Enunciado

Encontre o volume do sólido delimitado pela superfície z = x sec 2 ⁡ y e pelos planos z = 0   ,     x = 0   ,     x = 2   ,     y = 0 e y = π 4 .

Passo 1

Pessoal, pra determinar o volume desse sólido, primeiro precisamos escrever uma integral dupla que o descreva. Pra achar os limites de integração, olhamos para os planos que delimilitam o sólido:

V = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 z x ,   y d x   d y

Obtemos z a partir da equação da superfície:

V = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 x sec 2 ⁡ y d x   d y

Passo 2

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 x sec 2 ⁡ y d x   d y = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 x sec 2 ⁡ y d x d y = ∫ 0 π / 4 x 2 2 sec 2 ⁡ y 0 2 d y = ∫ 0 π / 4 2 2 2 sec 2 ⁡ y - 0 2 2 sec 2 ⁡ y d y = ∫ 0 π / 4 2 sec 2 ⁡ y   d y

Passo 3

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ 0 π / 4 2 sec 2 ⁡ y   d y = 2 t g   y 0 π / 4 = 2 t g π 4 - t g   0 = 2 1 - 0 = 2

Beleza?

Resposta

2

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15.5. Calcule a integral iterada. ∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x sin ⁡ y d x d y
15.1. Determine ∫ 0 3 f ( x , y ) d x e ∫ 0 4 f ( x , y ) d y . f x , y = 2 x + 3 x 2 y
15.6. Calcule a integral iterada. ∫ 1 4 ∫ 0 2 x + y d x d y
15.12. Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x
15.27. Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = x x 2 + y , pelos planos x = 0 ,x = 1 ,y = 0 .y = 1 e z = 0 .