Calcule a integral.

∫ s e n   x cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Como temos um produto entre um seno e um cosseno, e eles tem argumentos diferentes, precisamos reescrever a integral, usando essa relação:

s e n   α cos ⁡ β = 1 2 s e n   α - β + s e n   α + β

Nossa integral fica assim:

∫ s e n   x cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ s e n x - 2 x + s e n x + 2 x d x = 1 2 ∫ s e n   - x + s e n   3 x d x

Como:

s e n - x = - s e n x

∫ s e n   x cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ - s e n   ( x ) d x + 1 2 ∫ s e n ( 3 x ) d x = cos ⁡ x 2 + 1 2 ∫ s e n ( 3 x ) d x

Passo 2

Agora a gente pode aplicar a substituição simples na integral que ficou:

u = 3 x ,     d u d x = 3 ∴ d u 3 = d x

Substituindo na nossa integral:

∫ s e n ( 3 x ) d x = 1 3 ∫ s e n   u d u = - cos ⁡ u 3 = - cos ⁡ 3 x 3

Voltando para as nossas continhas:

∫ s e n   x cos ⁡ 2 x d x = cos ⁡ x 2 + 1 2 - cos ⁡ 3 x 3 = cos ⁡ x 2 - cos ⁡ 3 x 6 + C

Sem esquecer da constante de integração, já que isso não é uma integral definida.

Resposta

cos ⁡ x 2 - cos ⁡ 3 x 6 + C

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