Enunciado

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa

  1. Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre R 3 , então d i v r o t   ∇ f = 0

Passo 1

Fala aí... vamos lá?

Nessa questão vamos usar as definições de:

- gratidente:

∇ f = ∂ f ∂ x i ^ + ∂ f ∂ y j ^ + ∂ f ∂ z k ^

- divergente:

d i v   F = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

- rotacional:

r o t   F = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

r o t   F = ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z i ^ + ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x j ^ + ∂ F y ∂ x - ∂ x ∂ y k ^

Passo 2

Então vamos lá que é quase uma maratona...

Vamos fazendo de dentro pra fora...

Pegando o gradiente e aplicando o rotacional:

r o t   ∇ f = ∂ 2 f ∂ y ∂ z - ∂ 2 f ∂ y ∂ z i ^ + ∂ 2 f ∂ x ∂ z - ∂ 2 f ∂ x ∂ z j ^ + ∂ f ∂ x ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ y k ^

r o t   ∇ f = 0 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^

Ohhh... aqui já deu zero...

Se a gente aplicar o divergente vai ser zero mesmo.

d i v   r o t   ∇ f = 0

Então é VERDADEIRO.

Acabamooos essa.. partiu a próxima?

Resposta

VERDADEIRO

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18. z = e x 2 + y 2 - 4
21. z = x 2 + y 2 - 1
19. z = 2 x y + sen 2 ⁡ x y
12. z = a 2 - x 2 - y 2
29. Seja f x , y =5 x y 2 x 2 + y 2 0 s e( x , y ) ≠ ( 0,0 ) s e x , y = ( 0,0 ) calcular f 1,2 - ∂ f ∂ x 1,2 + ∂ f ∂ y 1,2 - ∂ f ∂ x ( 0,0 ) .