Enunciado

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa

  1. Existe um campo vetorial F tal que

r o t   F = x i ^ + y j ^ + z k ^

Passo 1

Ufaaa... chegamos na última questão dessa parte. Vamos lá então acabar logo com isso.

Vamos usar, aqui, a definição de rotacional:

r o t   F = i ^   j ^   k ^   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   F x   F y   F z  

r o t   F = ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z i ^ + ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x j ^ + ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y k ^

Passo 2

Vamos tentar andar de trâs pra frente?

Se igualarmos os dois rotacionais:

x i ^ + y j ^ + z k ^ = ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z i ^ + ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x j ^ + ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y k ^

Vamos ficar com o sistema:

{ x = ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z   y = ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x   z = ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y  

Vamos dar uma forçada de barra pra que tudo depois do menos seja zero (pra simplificar), então ficamos com:

{ x = ∂ F z ∂ y   y = ∂ F x ∂ z   z = ∂ F y ∂ x  

Então vamos ficar com:

- primeira linha

x = ∂ F z ∂ y

E então vamos ter algo como: (porque precisa derivar em relação a y e dar só o “x”, e não pode dar zero)

F z = C y

Então:

C = x

Daí:

F z = x y

- segunda linha

y = ∂ F x ∂ z

E então vamos ter algo como:

F x = A z

Então:

A = y

Daí:

F x = y z

- terceira linha

z = ∂ F y ∂ x

E então vamos ter algo como:

F y = B x

Então:

B = z

Daí:

F y = x z

Maaaaaasssss a gente tinha forçado que:

∂ F y ∂ z = 0

E isso não acontece porque:

∂ F y ∂ z = x

E isso vai acontecer em todos os casos...

Então é FALSO.

Resposta

FALSO

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