Enunciado

Determine a área exata da superfície

z = 1 + x + y + x^2 , - 2 <= x <= 1 , - 1 <= y <= 1

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos utilizar a definição para calcular a área da superfície e após isso, vamos utilizar um software para resolver a integral final.

Passo 2

Queremos calcular a seguinte integral:

A (S) = int int_D sqrt(((del z)/(del x))^2 + ((del z)/(del y))^2 + 1) * d A = int int_D sqrt((1 + 2 * x)^2 + (1)^2 + 1) * d A =

= int int_D sqrt((1 + 2 * x)^2 + 2) * d A = int int_D sqrt(4 * x^2 + 4 * x + 3) * d A =

= int_(- 2)^1 int_(- 1)^1 sqrt(4 * x^2 + 4 * x + 3) * d y * d x = 3 * int_(- 2)^1 sqrt(4 * x^2 + 4 * x + 3) * d x

Usando o software para calcularmos a integral, chegamos que a área da superfície será

A (S) = 3 * sqrt(11) + ln (10 + 3 * sqrt(11))

Resposta

A (S) = 3 * sqrt(11) + ln (10 + 3 * sqrt(11))

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