Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como

J = ∂ x , y , z ∂ u , v , w = d e t ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ∂ w

Onde u , v , w são as coordenadas do novo sistema.

Passo 2

Vamos conduzir nossa integral da seguinte forma.

∂ z ∂ x = y

e

∂ z ∂ y = x

então

A S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + x 2 + y 2 d x   d y

Usando coordenadas cilíndricas, onde

x = r cos ⁡ θ ,   y = r   s e n   θ e z = z

E olhando para o nosso domínio D = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 = 1 } ficamos com 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Nossa integral se resume em

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + r 2 r   d r   d θ

Na qual o jacobiano em coordenadas cilíndricas é r .

Integrando em θ ficamos com

A S = 2 π ∫ 0 1 r 1 + r 2 d r

Agora fazendo 1 + r 2 = u → d u = 2 r d r

A S = π ∫ 1 2 u d u = 2 3 π u 3 2 1 2 = 2 3 π 2 2 - 1

Resposta

A S = 2 3 π 2 2 - 1

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