Enunciado

Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da parte da superfície z = 1 + x 2 1 + y 2 que está acima do quadrado | x | + | y | ≤ 1 . Ilustre, traçando o gráfico da superfície.

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos utilizar a definição para calcular a área da superfície e após isso, vamos utilizar um software para resolver a integral final.

Passo 2

Queremos calcular a seguinte integral:

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A  

Primeiro, vamos encontrar ∂ z ∂ x 2 e ∂ z ∂ y 2 . Fazendo a primeira derivada parcial, temos que

∂ z ∂ x = 2 ⋅ x 1 + y 2

Agora para a outra derivada, temos que

z = 1 + x 2 ⋅ 1 + y 2 - 1

∂ z ∂ y = 1 + x 2 ⋅ - 1 + y 2 - 2 ⋅ 2 ⋅ y = 2 ⋅ y ⋅ 1 + x 2 1 + y 2 2

Manipulando nosso domínio D , temos que o intervalo de integração, mantendo x fixo e variando y , será

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 - x ≤ y ≤ 1 - x

Substituindo na integral todos os valores obtidos e usando um software para o cálculo numérico, chegaremos no resultado de

A S ≈ 2.6959

Sendo que nossa superfície será

Resposta

A S ≈ 2.6959

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