Enunciado

Determine a área da região delimitada pela curva y   =   x   c o s   x e pelo eixo das abscissas (veja a figura a seguir) para

a. π 2   ≤ X ≤   3 π 2 .

b. 3 π 2   ≤ X ≤ 5 π 2

c.   5 π 2   ≤ X ≤ 7 π 2 .

d. Que padrão pode ser reconhecido aqui? Qual é a área entre a curva e o eixo das abscissas para 2 n - 1 2 π ≤   x   ≤   ( 2 n   +   1 2 ) π , sendo n um inteiro arbitrário não negativo? Justifique sua resposta.

Passo 1

A questão pede que a gente descubra a área da região delimitada pela curva, isso é o mesmo do que calcularmos a integral definida e iremos fazer isso nas letras “a”, “b” e “c”.Os resultados dessas integrais pode ou não seguir um padrão, caso a gente perceba que obedece um padrão teremos informação suficiente para responder a letra “d”.

Passo 2

Vamos resolver primeiramente a letra “a”, para isso aplicamos integral definida na função y pelos limites de x:

a. π 2   ≤ X ≤   3 π 2

∫   π 2   3 π 2     x   c o s   x d x

Resolveremos essa integral por partes como se fosse uma integral indefinida para facilitar os cálculos :

u = x

d u = x ' d x

d u = d x

d v = c o s   x   d x

v = ∫ c o s   x   d x

v = s e n   x

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ x   c o s   x   d x = x . s e n   x -   ∫ s e n   x   d x

= x . s e n   x - c o s   x

Agora aplicamos a integral definida:

∫   π 2   3 π 2     x   c o s   x d x = x . s e n   x - c o s   x π 2 3 π 2

= 3 π 2 . s e n   3 π 2 - c o s   3 π 2 - π 2 . s e n   π 2 - c o s   π 2

= - 3 π 2 - π 2

= - 4 π 2

= - 2 π

O motivo de ter aparecido negativo é a posiçao da função no quadrante. Como não existe área negativa multiplicamos por:   - 1

= - 2 π . ( - 1 )

= 2 π

Passo 3

Agora iremos resolver a letra “b” de forma parecida de como resolvemos acima, mas mudando os valores dos limites de x:

b.. 3 π 2   ≤ X ≤ 5 π 2 .

∫ 3 π 2 5 π 2     x   c o s   x d x

Como ja sabemos o resultado da integral indefinida apenas aplicaremos a integral definida:

∫ 3 π 2 5 π 2     x   c o s   x d x = x . s e n   x - c o s   x 3 π 2 5 π 2

= 5 π 2 . s e n 5 π 2 - c o s   5 π 2 - 3 π 2 . s e n   3 π 2 - c o s   3 π 2

=   5 π 2 - - 3 π 2

= 5 π 2 + 3 π 2

= 8 π 2

= 4 π

Passo 4

Para resolver a letra “c” faremos de forma parecida de como resolvemos as duas letras acima, mas mudando os valores dos limites de x:

C.   5 π 2   ≤ X ≤ 7 π 2

∫ 5 π 2 7 π 2   x   c o s   x d x

Como ja sabemos o resultado da integral indefinida apenas aplicaremos a integral definida:

∫ 5 π 2 7 π 2   x   c o s   x d x = x . s e n   x - c o s   x 5 π 2 7 π 2

= 7 π 2 . s e n   7 π 2 - c o s   7 π 2 - 5 π 2 . s e n   5 π 2 - c o s   5 π 2

= -   7 π 2 - 5 π 2

= -   12 π 2

= -   6 π

O motivo de ter aparecido negativo é a posiçao da função no quadrante. Como não existe área negativa multiplicamos por:   - 1

= - 6 π . ( - 1 )

= 6 π

Passo 5

Agora para resolver a letra “d” é preciso observar um padrão que é seguido, se compararmos os resultado é possível notar que a area é a soma dos limites de x, por exemplo:

2 n - 1 2 π ≤ x ≤ 2 n   +   1 2 π

A area vai ser : ∫ 2 n   +   1 2 π 2 n - 1 2 π x   c o s   x d x

podemos ver que nas letras “a”,”b” e “c” o padrão de resultados aponta que:

∫ 2 n   +   1 2 π 2 n - 1 2 π x   c o s   x d x = 2 n - 1 2 π + 2 n   +   1 2 π

= 2 n - 1 2 + 2 n   +   1 2 π

= 2 n - 1 + 2 n + 1 2 π

= 4 n 2 π

= 2 n . π

Resposta

a. ∫   π 2   3 π 2     x   c o s   x d x = 2 π

b. ∫ 3 π 2 5 π 2     x   c o s   x d x = 4 π

c. ∫ 5 π 2 7 π 2   x   c o s   x d x = 6 π

d.

∫ 2 n   +   1 2 π 2 n - 1 2 π x   c o s   x d x = 2 n . π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Avalie a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. ∫ x ln ⁡ x d x ; u = ln ⁡ x d v = xd x
Primeiro faça uma substituição e então use a integração por partes para avaliar a integral. ∫ 1 4 e x d x
Avalie a integral. ∫ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) d x
Avalie a integral. ∫ t 3 e t d t
Avalie a integral indefinida. Ilustre e verifique se a sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua antiderivada (C=0). ∫ x cos ⁡ π x d x